logo
Вход Регистрация Спроси Mozg AI
М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
mashauuu6
mashauuu6
31.01.2022 13:23 •  Математика

3. На самом деле, алгоритмом Евклида чаще называют "ускоренную" версию описанного нами ранее алгоритма: на каждом шаге вместо большего из двух чисел записывается меньшее, а вместо меньшего - остаток от деления большего на меньшее. Так продолжается, пока одно из чисел не поделится нацело на другое (то есть, пока остаток не равен нулю). Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем (НОД) исходных чисел a и b. Пример: пара (16; 6) превращается в (6; 4), потом в (4,2). 4 делится на 2, поэтому НОД(10; 6) = 2. Докажите, что этот алгоритм Евклида работает не хуже, чем предыдущий.

👇
Увидеть ответ
Открыть все ответы
Ответ:
AsyaFilipova
AsyaFilipova
31.01.2022

y'' - 2y' + 5y = e^{2x}

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является y = y^{*} +\widetilde{y}.

1) y^{*} — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

y'' - 2y' + 5y = 0

Применим метод Эйлера: сделаем замену y = e^{kx}, где k — некоторая постоянная. Тогда y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}

Получили характеристическое уравнение:

k^{2}e^{kx} - 2ke^{kx} + 5e^{kx} = 0

Разделим обе части уравнения на e^{kx}:

k^{2} - 2k + 5 = 0

D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:

k_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i

Тогда y^{*}_{1} = e^{(1 + 2i)x}, \ y^{*}_{2} = e^{(1 - 2i)x}

Воспользуемся формулой Эйлера: e^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

Фундаментальная система решений: y^{*}_{1} = e^{x}\cos 2x, \ y_{2}^{*} = e^{x}\sin 2x — функции линейно независимые, поскольку \dfrac{y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}} = \dfrac{e^{x}\cos 2x}{e^{x}\sin 2x} = \text{ctg} \, 2x \neq \text{const}

Общее решение: y^{*} = C_{1}y_{1}^{*} + C_{2}y_{2}^{*} = C_{1}e^{x}\cos 2x + C_{2}e^{x}\sin 2x

2) \widetilde{y} — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции f(x).

Здесь f(x) = e^{2x}, причем \alpha = 2 \neq k_{1,2}, поэтому частное решение имеет вид \widetilde{y} = Ae^{2x}, где A — неизвестный коэффициент, который нужно найти.

Тогда \widetilde{y}' = 2Ae^{2x}, \ \widetilde{y}'' = 4Ae^{2x} и \widetilde{y} = Ae^{2x} подставим в исходное ЛНДР и найдем A:

4Ae^{2x} - 2 \cdot 2Ae^{2x} + 5 \cdot Ae^{2x} = e^{2x}

Разделим обе части уравнения на e^{2x}

4A - 4A+ 5A = 1

A = \dfrac{1}{5}

Таким образом, частное решение: \widetilde{y} = \dfrac{1}{5} e^{2x}

Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:

y = y^{*} +\widetilde{y} =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)

ответ: y =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)

4,4(47 оценок)
Ответ:
yulaha3010oxppqh
yulaha3010oxppqh
31.01.2022

y'' - 2y' + 5y = e^{2x}

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является y = y^{*} +\widetilde{y}.

1) y^{*} — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

y'' - 2y' + 5y = 0

Применим метод Эйлера: сделаем замену y = e^{kx}, где k — некоторая постоянная. Тогда y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}

Получили характеристическое уравнение:

k^{2}e^{kx} - 2ke^{kx} + 5e^{kx} = 0

Разделим обе части уравнения на e^{kx}:

k^{2} - 2k + 5 = 0

D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:

k_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i

Тогда y^{*}_{1} = e^{(1 + 2i)x}, \ y^{*}_{2} = e^{(1 - 2i)x}

Воспользуемся формулой Эйлера: e^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

Фундаментальная система решений: y^{*}_{1} = e^{x}\cos 2x, \ y_{2}^{*} = e^{x}\sin 2x — функции линейно независимые, поскольку \dfrac{y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}} = \dfrac{e^{x}\cos 2x}{e^{x}\sin 2x} = \text{ctg} \, 2x \neq \text{const}

Общее решение: y^{*} = C_{1}y_{1}^{*} + C_{2}y_{2}^{*} = C_{1}e^{x}\cos 2x + C_{2}e^{x}\sin 2x

2) \widetilde{y} — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции f(x).

Здесь f(x) = e^{2x}, причем \alpha = 2 \neq k_{1,2}, поэтому частное решение имеет вид \widetilde{y} = Ae^{2x}, где A — неизвестный коэффициент, который нужно найти.

Тогда \widetilde{y}' = 2Ae^{2x}, \ \widetilde{y}'' = 4Ae^{2x} и \widetilde{y} = Ae^{2x} подставим в исходное ЛНДР и найдем A:

4Ae^{2x} - 2 \cdot 2Ae^{2x} + 5 \cdot Ae^{2x} = e^{2x}

Разделим обе части уравнения на e^{2x}

4A - 4A+ 5A = 1

A = \dfrac{1}{5}

Таким образом, частное решение: \widetilde{y} = \dfrac{1}{5} e^{2x}

Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:

y = y^{*} +\widetilde{y} =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)

ответ: y =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)

4,7(18 оценок)
Это интересно:
Х
Как сделать буклет из бумаги: пошаговая инструкция для начинающих...
22.07.2022
Боязнь высоты: как преодолеть её и наслаждаться жизнью...
Х
Как сделать купальник: советы от профессионала...
К
Как открыть программу Terminal на Mac...
К
Как войти в Windows со стандартным паролем администратора...
И
Как научиться петь: советы для начинающих...
О
Как правильно сказать привет на китайском языке: все, что нужно знать...
Х
Игра в Джекс: правила и стратегии...
С
Как сделать бальзам для губ из вазелина: домашний рецепт...
С
Как стать лучшей сестрой: советы от реальных девушек...
Новые ответы от MOGZ: Математика
dianarudak
dianarudak
03.03.2021
На какой предмет использовать тетрадь 48 листов ( , , , )...
evgen22regiooon
evgen22regiooon
03.03.2021
A2-b2 перед a и b квадрат2 = a+b выглядит как дробь , ! : -)...
01223
01223
03.03.2021
Сколькими можно разделить на 2 группы 10 команд так, чтобы 2 сильнейшие команды были в разных группах?...
makslitovchenk
makslitovchenk
03.03.2021
Найдите наибольшее значение функции y=x^3+8x^2+16x+23 на отрезке [-13; -3]...
Damir6565
Damir6565
03.03.2021
Для функции y=2cosx найдите первообразную,график которой проходит через точку (п/2; 24)...
ксюша1693
ксюша1693
03.03.2021
Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций y=9-x^2 и осью абсцисс....
zejnabnasibova
zejnabnasibova
03.03.2021
Решите уравнение: 2,(3)+ i-4,1i*3÷-2,1-2,9...
dilasagadatova
dilasagadatova
03.03.2021
Среди данных одночленов выберите те, степень которых равна 7: 1) 7b37b3 2) 3a4y33a4y3 3) −4a2b2−4a2b2 4) 3a2b23a2b2 5) 5a2bbb2a5a2bbb2a 6) −3xy6−3xy6...
1FreeMad1
1FreeMad1
03.03.2021
За 5 часов плот проплыл по реке 12,5 км. какое расстояние он проплывает за сутки?...
daallantin
daallantin
03.03.2021
Примеры состатком 39: 14= 40: 13= 78: 19= 67: 16= 98: 15= 49: 18=...

MOGZ ответил

Полный доступ к MOGZ
Живи умнее Безлимитный доступ к MOGZ Оформи подписку
О НАС
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ