Question

A log2(|x-2|)=|x-2| при каком значение параметра а у уравнения будет два ответа? уравнение с параметром

Answer 1

$(-\infty;0)\cup\{2^{\frac{1}{\ln{2}}}\ln{2}\}$

Пошаговое объяснение:

Заметим, что уравнение симметрично относительно x = 2: если 2 + x₀ — решение уравнения, то и 2 - x₀ — решение уравнения. Значит, на промежутке x > 2 уравнение должно иметь ровно один корень, оно имеет вид $a\log_2{(x-2)}=x-2$.

При a < 0 на промежутке x > 2 в левой части — монотонно убывающая функция, в правой части — монотонно возрастающая функция. Значит, уравнение имеет один корень, а исходное — два корня.

При a = 0 x - 2 = 0, x = 2, но x ≠ 2 по ОДЗ, корней нет.

При a > 0 слева и справа на промежутке x > 2 — монотонно возрастающие функции, при этом справа — прямая. Значит, чтобы был один корень, эта прямая должна быть касательной.

Производная функции левой части $f'(x)=\dfrac{a}{(x-2)\ln{2}}$. Это коэффициент перед x, он равен 1 (касательная — y = 1·x - 2):

$\dfrac{a}{(x_0-2)\ln{2}}=1\\x_0-2=\dfrac{a}{\ln{2}}\\x_0=\dfrac{a}{\ln{2}}+2$

Подставим в исходное уравнение:

$a\log_2{\dfrac{a}{\ln{2}}}=\dfrac{a}{\ln{2}}|:a\neq 0\\\log_2{\dfrac{a}{\ln{2}}}=\dfrac{1}{\ln{2}}\\\dfrac{a}{\ln{2}}=2^{\frac{1}{\ln{2}}}\\a=2^{\frac{1}{\ln{2}}}\ln{2}$

Таким образом, $a\in(-\infty;0)\cup\{2^{\frac{1}{\ln{2}}}\ln{2}\}$