Question

101 × 102 × 103 × 104 × ... × 300 = 7^k × n (k и n - натуральные числа)

Найдите наибольшее значение для k.
А) 26 Б) 29 В) 30 Г) 31 Д) 32

Answer 1

$101\cdot102\cdot103\cdot104\cdot...\cdot300=7^{k_{\max}}\cdot n$

Найдем, сколько чисел от 101 до 300 делятся на 7.

$\dfrac{101}{7} =14\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{300}{7} =42\dfrac{6}{7}$

Числа от 101 до 300, делящиеся на 7, дают частные от 15 до 42 включительно. Значит, их количество равно:

$42-15+1=28$

Но, среди чисел от 101 до 300 есть такие, которые делятся на $7^2=49$. Найдем их количество.

$\dfrac{101}{49} =2\dfrac{3}{49}$

$\dfrac{300}{49} =6\dfrac{6}{49}$

Числа от 101 до 300, делящиеся на 49, дают частные от 3 до 6 включительно. Значит, их количество равно:

$6-3+1=4$

Среди чисел от 101 до 300 делящихся на $7^3=343$, а также на большие степени числа 7 нет.

Значит, 28 чисел имеют сомножитель "7". Кроме этого 4 числа имеют еще один сомножитель "7". Значит, всего сомножителей "7" имеется:

$28+4=32$

ответ: 32