Question

Укажите уравнение прямой симметричной прямой у=-3х+7 относительно у=х​

Answer 1

y=-x/3+2 1/3

Пошаговое объяснение:

y=x - биссектриса 1 и 3 коорди

натных четвертей.

Чтбы указать уравнение пря

мой, симметричной прямой

у=-3х+7 относительно у=х, нуж

но составить уравнение обрат

ной функции.

1.Выразим х через у:

3х=-у+7

х=-у/3+2 1/3

2.Меняем местами х и у:

у=-х/3 +2 1/3

3.У прямой и обратной функций

совпадают области определений

и области значений:

D={R}

E={R}

ответ: у=-х/3+2 1/3

Answer 2

Если переставить $x$ и $y$ местами, то получим ответ.

$\begin{equation*}x =-3y+7\end{equation*}$ или, если выразить $y$:

$y = -\frac{x}{3} + 2\frac{1}{3}$ - ответ.

Пошаговое объяснение:

1. Найдем запись прямой L: $y = -3x+7$ в каноническом виде:

$y - 7 = -3x\\$,

$\frac{y-7}{-3} = \frac{x+0}{1}$,

L: $\frac{x+0}{1} = \frac{y-7}{-3}$ - канонический вид прямой $y = -3x+7$

Каноническое уравнение прямой в общем виде $\frac{x - M_{0x}}{p_x} = \frac{y - M_{0y}}{p_y}$.

Для нашей прямой точка $M_0 = (0; 7)$. (в числителе), вектор $p = (1, -3)$.

Эти точка и вектор определяют саму прямую. Изменяя их, мы изменяем и прямую. Нам надо найти такие параметры $M_0$ и $p$, при которых получившаяся прямая - симметрична прямой L относительно y = x.

2. Произведем отображение относительно прямой F: y = x.

Определим угол поворота прямой F относительно начала координат:

$y' = 1 = tg(\alpha)$,

$\alpha = tg^{-1}(1) = 45 \textdegree$.

Процесс отображения протекает в 3 этапа:

Повернуть прямые так, чтобы F и OX сошлись;Отобразить относительно OX;Повернуть обратно

Делается это просто.

Представим оба наших параметра в виде матрицы

$\begin{equation*}W =\begin{pmatrix}0 & 7\\1 & -3\\\end{pmatrix}\end{equation*}$

Матрицы R, R' - матрицы поворота и обратного поворота. Матрица Т - матрица отражения относительно оси  OX. Это "табличные" матрицы преобразований.

Параметры после преобразований рассчитываются умножением:

$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix}0 & 7\\1 & -3\\\end{pmatrix}\times R\times T\times R'$$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix}0 & 7\\1 & -3\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\sin(\alpha) & cos(\alpha)\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}cos(\alpha) & sin(\alpha)\\-sin(\alpha) & cos(\alpha)\\\end{pmatrix}\end{equation*}$

$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix}0 & 7\\1 & -3\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\end{pmatrix}\end{equation*}$

Осталось только провести расчеты:

$\begin{equation*}W'=\begin{pmatrix} 7 * \frac{\sqrt{2}}{2} & 7 * \frac{\sqrt{2}}{2} \\-2 * \frac{\sqrt{2}}{2} & -4 * \frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{pmatrix}\end{equation*}\\$

$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix} 7 * \frac{\sqrt{2}}{2} & -7 * \frac{\sqrt{2}}{2} \\-2 * \frac{\sqrt{2}}{2} & 4 * \frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{pmatrix}\end{equation*}$

$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix} 7 * \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} + (-7 * \frac{\sqrt{2}}{2}) * (-\frac{\sqrt{2}}{2}) & 7 * \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} + (-7 * \frac{\sqrt{2}}{2}) * \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -2 * \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 * \frac{\sqrt{2}}{2} * (-\frac{\sqrt{2}}{2}) & -2 * \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 * \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{pmatrix} \end{equation*}$

$\begin{equation*}W' =\begin{pmatrix} 7 * \frac{1}{2} + 7 * \frac{1}{2} & 7 * \frac{1}{2} - 7 *\frac{1}{2} \\ -2 * \frac{1}{2} - 4 * \frac{1}{2} & -2 * \frac{1}{2} + 4 * \frac{1}{2} \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 * \frac{1}{2} & 0 \\ -6 * \frac{1}{2} & 2 * \frac{1}{2} \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -3 & 1 \\\end{pmatrix}\end{equation*}$

$W' = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -3 & 1 \\\end{pmatrix}$

Мы получили новые параметры:

$M_0' = (7, 0)\\p' = (-3, 1)$

Подставим их в уравнение $\frac{x - M_{0x}}{p_x} = \frac{y - M_{0y}}{p_y}$:

$L'$: $\frac{x - 7}{-3} = \frac{y - 0}{1}$ или если выразить y, то $y = \frac{x - 7}{-3} = -\frac{x}{3} + 2\frac{1}{3}$

$L'$: $y = -\frac{x}{3} + 2\frac{1}{3}$