Question

Через вершину A некоторого угла, равного 120◦, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B и D, а его биссектрису — в точке C. Найти площадь четырехугольника ABCD, если сумма длин отрезков AB и AD равна 2.

Answer 1

√3

Пошаговое объяснение:

Не теряя общности, положим AD ≤ AB. Опустим перпендикуляры CK и CM на стороны угла. Обозначим AD = x, DK = y.

Так как AC — биссектриса, точка C равноудалена от сторон угла, то есть CK = CM. Прямоугольные треугольники AKC и AMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (AC — общая) ⇒ AK = AM = x + y.

Так как ∠DAC = ∠BAC, DC = BC как хорды, на которые опираются равные углы. Прямоугольные треугольники DKC и BMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (DC = BC) ⇒ DK = BM = y.

По условию AB + AD = (x + y + y) + x = 2(x + y) = 2 ⇒ x + y = 1. Тогда AM = x + y = 1. В прямоугольном треугольнике AMC ∠ACM = 90° - ∠CAM = 90° - 60° = 30°. По теореме об угле в 30° AC = 2AM = 2.

$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}+\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}=\\=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot\sin{60^{\circ}}\cdot (AB+AD)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$