Question

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

Answer 1

Пусть А - начало координат.

Ось Х - АС

Ось Y - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - AA1

Координаты точек

С ( 6;0;0)

B ( 3;3√3;0)

M (3;0;3)

L ( 4,5;3√3/2;3)

K(0,5;√3/2;0)

Вектор BM ( 0; -3√3;3)

Уравнение плоскости y - параллельна оси X

by+cz+d = 0

Подставляем координаты точек К и L

√3b/2 + d  = 0

3√3b/2+3c+d =0

Пусть d = 4,5  - Тогда b = -3√3   с=3

Уравнение плоскости y

-3√3y + 3z + 4,5 =0

Нормальный вектор этой плоскости совпадает с вектором BМ - а значит прямая ВМ и плоскость y перпендикулярны .

Нормальное уравнение плоскости у

k= √((3√3)^2+3^2) = 6

-3√3y/k + 3z/k + 4,5/k =0

-√3y/2 + 0.5z + 3/4 =0

Подставляем координаты точки C в нормальное уравнение плоскости y

| C ; y | = 3/4