Question

Тема: Понятие математической индукции и методы доказательства истинности математического высказывания 1.Доказать равенство: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 (n≥1) 2.Доказать, что при каждом натуральном n число n3 + 11n делится на 6. 3.Доказать, что справедливо неравенство .

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. Проверяем для n=1

1= \frac{1*2}{2}1=

2

1∗2

- верно

2. Предполагаем, что для n=k это равенство выполняется, т.е.

1+2+...+k= \frac{k(k+1)}{2}1+2+...+k=

2

k(k+1)

3. Теперь докажем, что для n=k+1 равенство также выполняется:

1+2+...+k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2} +(k+1)1+2+...+k+(k+1)=

2

k(k+1)

+(k+1) (по предположению из второго пункта) = (k+1)( \frac{k}{2} +1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}=(k+1)(

2

k

+1)=

2

(k+1)(k+2)

=

2

(k+1)((k+1)+1)

- что и нужно было доказать.