Вероятность того, что лампочка перегорит в течение первого дня эксплуатации, равна 0.0004. В жилом комплексе после ремонта в один день включили 5000 новых лампочек. Какова вероятность, что ни одна из них не перегорит в первый день? Какова вероятность, что перегорят ровно две?
1. Вероятность того, что одна лампочка не перегорит в первый день эксплуатации, равна P(X = 0), где X - количество лампочек из 5000, которые не перегорели. Для нахождения этой вероятности мы используем формулу биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n - количество испытаний (включенных лампочек), p - вероятность успеха (лампочка не перегорит), C(n, k) - число сочетаний из n по k.
В данном случае n = 5000, k = 0, p = 0.0004. Подставляем значения в формулу:
P(X = 0) = C(5000, 0) * 0.0004^0 * (1-0.0004)^(5000-0)
Вычисляем число сочетаний:
C(5000, 0) = 1
Вычисляем вероятность:
P(X = 0) = 1 * 1 * (0.9996)^5000 = 0.1352
Таким образом, вероятность того, что ни одна из 5000 лампочек не перегорит в первый день, равна 0.1352 или 13.52%.
2. Чтобы найти вероятность того, что ровно две лампочки перегорят в первый день, нужно найти P(X = 2), где X - количество лампочек из 5000, которые перегорели.
Используем ту же формулу биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n = 5000, k = 2, p = 0.0004.
Вычисляем число сочетаний:
C(5000, 2) = 5000! / (2! * (5000-2)!) = 5000! / (2! * 4998!) = (5000 * 4999) / (2 * 1) = 12,499,500
Вычисляем вероятность:
P(X = 2) = 12,499,500 * (0.0004)^2 * (1-0.0004)^(5000-2) = 0.2707
Таким образом, вероятность того, что ровно две лампочки из 5000 перегорят в первый день, равна 0.2707 или 27.07%.