23/32 (×3) и 1/96 (×1) 23·3/96 и 1·1/96 69/96 и 1/96 32=2·2·2·2·2 96÷32=3 96=2·2·2·2·2·3-общий знаменатель 96÷96=1 2· 2· 2· 2· 2· 3= 32·3=96 69/70 (×2) и 139/140(1) 138/140 и 139/140 140=70·2 общий знаменатель 140÷70=2 140÷140=1 5/8 (×11) и 1/11(×8) 55/88 и 8/88 88÷8=11 88÷11=8 17/20(×9) и 2/9(×20) 153/180 и 40/180 180÷20=9 180÷9=20 180- общий знаменатель 13/18 (×5) и 1/10(×9) 45/90 и 9/90 90÷18=5 90÷10=9 5/24 (×2) и 15/16(3) 10/48 и 45/48 48÷24=2 48÷16=3 2/55(×6) и 7/66(×5) 12/330 и 35/330 330÷55=6 330÷66=5 11/16(×11) и 9/88(×2) 121/176 и 18/176 176÷16=11 176÷88=2
Поэтому K лежит на отрезке MH.
1.
Рассмотри ∠ACH и ∠ABC:
CA⊥BA и CH⊥BH по условию;
∠ACH = ∠ABC, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Поэтому CM = BM, тогда ΔBMC - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.Поэтому ∠MBC = ∠MCB, откуда ∠ACH = ∠MCB (т.к. ∠ACH = ∠MBC).
∠ACK = ∠BCK, как углы при биссектрисе;
∠ACH = ∠MCB;
Тогда ∠ACK - ∠ACH = ∠BCK - ∠MCB;
∠HCK = ∠MCK.
Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.2.
Рассмотрим ΔMCH:
CK - биссектриса MCH, поскольку ∠HCK = ∠MCK;
Тогда справедливо равенство
;
Пусть CM = 5x, тогда CH = 3x;
HM = HK+KM = 3+5 = 8;
ΔMCH - прямоугольный (CH⊥MH ⇒ ∠CHM = 90°);
Тогда по теореме Пифагора получим:
CH²+HM² = CM²;
(3x)²+8² = (5x)²;
9x²+64 = 25x²;
64 = 16x²;
x² = 64:16 = 2²;
x = 2.
CM = 5x = 5·2 = 10;
CH = 3x = 3·2 = 6.
3.
CM = BM = MA;
MA = 10;
AB = 2·MA = 2·10 = 20;
AH = MA-HM = 10-8 = 2.
4.
Рассмотрим ΔCHA:
∠CHA = 90°; AH = 2; CH = 6;
По теореме Пифагора найдём AC:
AC² = CH²+AH² = 6²+2² = 36+4 = 2²·10;
AC = 2√10.
5.
Рассмотрим ΔABC:
∠ACB = 90°; AC = 10√2; AB = 20;
По теореме Пифагора надём BC:
BC² = AB²-AC² = 20²-40 = 400-40 = 6²·10;
BC = 6√10.
6.
Рассмотрим ΔCHK:
∠CHK = 90°; CH = 6; HK = 3;
По теореме Пифагора найдём CK:
CK² = CH²+HK² = 6²+3² = 36+9 = 3²·5;
CK = 3√5.
ответ: AB = 20; BC = 6√10; AC = 2√10; CK = 3√5.