Question

Докажите, что число λ=5 является собственным для матрицы ⎡⎣ 24 19 0 / 19 24 0 / 35 21 9⎤⎦ и найдите отвечающий ему собственный вектор вида (35,α,β). в ответ введите число α, а затем β, разделив иx точкой с запятой.

Answer 1

Чтобы доказать, что число λ=5 является собственным для данной матрицы, мы должны найти такой ненулевой вектор X, который удовлетворяет условию AX = λX, где A - заданная матрица.

Предположим, что собственный вектор имеет вид X = (35, α, β). Тогда уравнение AX = λX примет вид:

⎡⎣ 24 19 0 / 19 24 0 / 35 21 9⎤⎦ ⎡⎣ 35 / α / β⎤⎦ = 5 ⎡⎣ 35 / α / β⎤⎦

Упростим это уравнение:

⎡⎣ (24*35 + 19*α) / (19*35 + 24*α) / 0*35 + 0*α + 9*β⎤⎦ = ⎡⎣ 5*35 / 5*α / 5*β⎤⎦

Теперь выразим условие равенства элементов векторов:

(24*35 + 19*α) / (19*35 + 24*α) = 5*35 / 5*α
0*35 + 0*α + 9*β = 5*β

Решим первое уравнение относительно α:

(24*35 + 19*α) / (19*35 + 24*α) = 5*35 / 5*α

Умножим оба выражения на (19*35 + 24*α)*(5*α):

(24*35 + 19*α)*(5*α) = (19*35 + 24*α)*(5*35)
120*35*α + 95*α^2 = 95*35*α + 120*35*α
95*α^2 = 95*35*α
α^2 = 35*α

Теперь получили квадратное уравнение. Разделим обе части на α:

α = 35

Таким образом, значение α равно 35.

Теперь найдём β из второго уравнения:

0*35 + 0*α + 9*β = 5*β
9*β - 5*β = 0
4*β = 0
β = 0

Таким образом, значение β равно 0.

Итак, собственный вектор для числа λ=5 имеет вид (35, 35, 0). Здесь разделитель между α и β будет символ точка с запятой:

Ответ: α = 35; β = 0