Рассмотрим степени простых чисел 2 ≤ p ≤ 7, входящих в произведение чисел ряда от 1 до 15. Это числа 2, 3, 5, 7. Простые числа 11 и 13 сразу исключаем. Поскольку четных чисел всего 7, из них 4=2^2, 8=2^3, а 12=2^2*3, то максимальная степень двойки в нашем произведении 2^11. Исключаем отсюда число 2. Отсюда максимальная, устраивающая нас степень двойки 2^10, поскольку 2^10=(2^5)^2. Чисел, кратных трем всего пять, из них 9=3^2, поэтому максимальная степень тройки 3^6, которая нас устраивает, т . к. 3^6 = (3^3)^2. Чисел, кратных 5 всего три, но максимальная степень пятерки, которая нас устраивает 5^2, поэтому исключаем число 5 и наконец, чисел, кратных 7 у нас два и максимальная степень семерки 7^2. Тогда получаем произведение 1*3*4*6*7*8*9*10*12*14*15=2^10*3^6*5^2*7^2=(2^5*3^3*5*7)^2=30240^2. Т. о. в нашем произведении оказываются задействованы все числа кроме 2, 5, 11 и 13. Т. е. максимальное количество чисел необходимое для получения квадрата натурального числа равно 15-4 =11.
ответ: 11.
Заметим, что 3 и 1 - нечетные числа. поскольку их в строке 8, то и сумма во всех строках четна. Максимальная сумма в строчке равна 3 * 8 = 24. Значит. что суммы могут быть: 7,14,21. Единственное четное число - 14. Значит сумма всех строчек - 14 * 5 = 70.Размышляя аналогично, легко понять, что сумма во всех строка нечетна, то есть равна либо 7, либо 21. 21 мы получит не можем, так как максимальное значение - 3 * 5 = 15. Значит сумма всех столбиков 7 * 8 = 56. А сумма всех столбиков в таблице должна совпадать с суммой всех сточек. Противоречие.