Question

Найдите число целых решений неравенства. С поэтапным решением умоляю надо понять как решить. Заранее$\frac{1}{x^{2}-11x+28 } \leq \frac{8x-37}{(x-4)^{2}(x^{2} -9x+14)}$

Answer 1

x∈(2;7) ∪ (7;9]

целые: 3, 4, 5, 6, 8, 9

Пошаговое объяснение:

1/(x²-11x+28)≤(8x-37)/((x-4)²(x²-9x+14));

раскладываем квадратные трехчлены на множители:

а)x²-11x+28=0; D=121-4*28=9; x₁₂=0,5(11±3); x₁=7; x₂=4;

x²-11x+28=(x-7)(x-4);

b)x²-9x+14=0; D=81-56=25; x₁₂=0,5(9±5); x₁=7; x₂=2;

x²-9x+14=(x-7)(x-2);

записываем заново, ищем общий знаменатель, приводим подобные, переносим все в левую часть:

1/[(x-7)(x-4)]≤(8x-37)/[(x-4)²(x-7)(x-2)];

1/[(x-7)(x-4)]-(8x-37)/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;

[(x-4)(x-2)]-(8x-37)]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;

[x²-2x-4x+8-8x+37]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;

[x²-14x+45]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;

опять раскладываем на множители:

x²-14x+45=0; D=14²-4*45=16; x₁₂=0,5(14±4); x₁=9; x₂=5;

x²-14x+45=(x-9)(x-5);

плучаем вот такое неравенство:

(x-9)(x-5)/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;

дробь меньше или равна 0 когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:

1. числитель больше или равен 0, а знаменатель меньше 0

2. числитель меньше или равен 0, а знаменатель больше 0

1. числитель ≥0

(x-9)(x-5)≥0; x≥9; x≥5; x∈[9;+∞);

                    x≤9; x≤5; x∈(-∞;5];

                                     x∈(-∞;5]∪[9;+∞);

1. знаменатель <0 (не равен!)

(x-4)²(x-7)(x-2)<0; (x-4)²>0; (x-7)>0; (x-2)<0

                             x>2; x>7; x<2; x∈∅;

                              (x-4)²>0; (x-7)<0; (x-2)>0;

                               x>2; x<7; x>2; x∈(2;7)

x∈(-∞;5]∪[9;+∞)∩(2;7);

x∈(2;7)

2. числитель ≤0

(x-9)(x-5)≤0; x≥9; x≤5; x∈∅;

                    x≤9; x≥5; x∈[5;9];

                                     x∈[5;9];

2.знаменатель >0

(x-4)²(x-7)(x-2)>0; (x-4)²>0; (x-7)>0; (x-2)>0

                             x>2; x>7; x>2; x∈[7;+∞);

                              (x-4)²<0; (x-7)<0; (x-2)<0;

                               x∈∅; x<7; x<2; x∈∅

x∈[5;9] ∩  [7;+∞)

x∈[7;9]

x∈(2;7) ∪ [7;9]; (число 7 не входит!)

x∈(2;7) ∪ (7;9]