Question

Найти коэффицент при ${x}^{10}$
в разложении
​

$(1 + x + {x}^{2} ) ^{8}$

Answer 1

784

Пошаговое объяснение:

Согласно полиномиальной формуле,

$(1+x+x^2)^8=\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}1^{n_1}*x^{n_2}*(x^2)^{n_3}=\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}x^{n_2+2n_3}$

Тогда коэффициент при $x^{10}$ равен $\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,n_2+2n_3=10\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}$

$n_2+2n_3=10\Rightarrow n_3=5-\dfrac{n_2}{2}\leq 5-\dfrac{0}{2}=5$

При этом, очевидно, $n_1,n_2,n_3\leq 8$

$n_3=0\Rightarrow n_2=10-2*0=108\Rightarrow\O$

$n_3=1\Rightarrow n_2=10-2*1=8\Rightarrow n_1+n_2+n_3\geq 0+8+1=98\Rightarrow\O$

$n_3=2\Rightarrow n_2=10-2*2=6\Rightarrow n_1=8-2-6=0$

$n_3=3\Rightarrow n_2=10-2*3=4\Rightarrow n_1=8-3-4=1$

$n_3=4\Rightarrow n_2=10-2*4=2\Rightarrow n_1=8-2-4=2$

$n_3=5\Rightarrow n_2=10-2*5=0\Rightarrow n_1=8-0-5=3$

А тогда

$\sum\limits_{n_1+n_2+n_3=8,n_2+2n_3=10\atop n_1,n_2,n_3\in N_0}\dfrac{8!}{n_1!n_2!n_3!}=\dfrac{8!}{0!6!2!}+\dfrac{8!}{1!4!3!}+\dfrac{8!}{2!2!4!}+\dfrac{8!}{3!0!5!}=\dfrac{8*7}{2}+\dfrac{8*7*6*5}{3*2}+\dfrac{8*7*6*5}{2*2}+\dfrac{8*7*6}{3*2}=4*7+8*7*5+2*7*6*5+8*7=(5*5+3)*7*4=28*28=784$