При каком значении λ из линейной независимости системы векторов {a₁, a₂} вытекает линейная независимость системы {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} ? ответ: λ ≠ 1, 2 Задание по линейной алгебре. Нужно подробное объяснение.
Для начала, давайте вспомним, что значит, что система векторов {a₁, a₂} является линейно независимой.
Система векторов {a₁, a₂} называется линейно независимой, если единственным способом представления нулевого вектора (вектора, у которого все компоненты равны нулю) в виде линейной комбинации этих векторов является тривиальное представление, то есть если только с помощью коэффициентов, равных нулю:
0 = c₁a₁ + c₂a₂,
где с₁ и с₂ – коэффициенты, равные нулю.
Теперь перейдем к рассмотрению системы векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂}. Нам нужно найти значения параметра λ, при которых эта система векторов также будет линейно независимой.
Для этого предположим, что мы можем представить нулевой вектор из этой системы в виде линейной комбинации:
0 = c₃(λa₁ + a₂) + c₄(a₁ + λa₂),
где c₃ и c₄ – коэффициенты.
Примем во внимание, что мы не знаем, какие значения принимает параметр λ, поэтому придется рассмотреть два случая: λ ≠ 0 и λ = 0.
Чтобы система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} была линейно независимой, нам необходимо, чтобы единственным способом представления нулевого вектора в виде линейной комбинации было тривиальное представление.
Это означает, что коэффициенты при a₁ и a₂ должны быть равны нулю:
c₃λ + c₄ = 0 (уравнение 1),
c₃ + c₄λ = 0 (уравнение 2).
Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки.
Из уравнения 2 выразим c₃ через c₄:
c₃ = -c₄λ (уравнение 3).
Теперь подставим это выражение для c₃ в уравнение 1:
-c₄λ² + c₄ = 0.
Вынесем c₄ за скобки:
c₄(-λ² + 1) = 0.
Так как c₄ ≠ 0 (иначе это уже не будет линейно независимая система), мы можем разделить обе части на c₄:
-λ² + 1 = 0.
Перепишем это уравнение в виде:
λ² = 1.
Решением этого уравнения являются два значения: λ = 1 и λ = -1.
Это выражение показывает, что система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой при любом значении λ = 0.
Таким образом, ответ на вопрос состоит из двух частей:
1) При λ ≠ 0 система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой для любых значений λ, кроме λ = 1 и λ = -1.
2) При λ = 0 система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой при любом значении λ.
Система векторов {a₁, a₂} называется линейно независимой, если единственным способом представления нулевого вектора (вектора, у которого все компоненты равны нулю) в виде линейной комбинации этих векторов является тривиальное представление, то есть если только с помощью коэффициентов, равных нулю:
0 = c₁a₁ + c₂a₂,
где с₁ и с₂ – коэффициенты, равные нулю.
Теперь перейдем к рассмотрению системы векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂}. Нам нужно найти значения параметра λ, при которых эта система векторов также будет линейно независимой.
Для этого предположим, что мы можем представить нулевой вектор из этой системы в виде линейной комбинации:
0 = c₃(λa₁ + a₂) + c₄(a₁ + λa₂),
где c₃ и c₄ – коэффициенты.
Примем во внимание, что мы не знаем, какие значения принимает параметр λ, поэтому придется рассмотреть два случая: λ ≠ 0 и λ = 0.
1) Рассмотрим случай λ ≠ 0:
0 = c₃(λa₁ + a₂) + c₄(a₁ + λa₂)
0 = c₃λa₁ + c₃a₂ + c₄a₁ + c₄λa₂
0 = (c₃λ + c₄)a₁ + (c₃ + c₄λ)a₂.
Чтобы система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} была линейно независимой, нам необходимо, чтобы единственным способом представления нулевого вектора в виде линейной комбинации было тривиальное представление.
Это означает, что коэффициенты при a₁ и a₂ должны быть равны нулю:
c₃λ + c₄ = 0 (уравнение 1),
c₃ + c₄λ = 0 (уравнение 2).
Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки.
Из уравнения 2 выразим c₃ через c₄:
c₃ = -c₄λ (уравнение 3).
Теперь подставим это выражение для c₃ в уравнение 1:
-c₄λ² + c₄ = 0.
Вынесем c₄ за скобки:
c₄(-λ² + 1) = 0.
Так как c₄ ≠ 0 (иначе это уже не будет линейно независимая система), мы можем разделить обе части на c₄:
-λ² + 1 = 0.
Перепишем это уравнение в виде:
λ² = 1.
Решением этого уравнения являются два значения: λ = 1 и λ = -1.
2) Рассмотрим случай λ = 0:
0 = c₃(0a₁ + a₂) + c₄(a₁ + 0a₂)
0 = c₃a₂ + c₄a₁.
Это выражение показывает, что система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой при любом значении λ = 0.
Таким образом, ответ на вопрос состоит из двух частей:
1) При λ ≠ 0 система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой для любых значений λ, кроме λ = 1 и λ = -1.
2) При λ = 0 система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно независимой при любом значении λ.