Имеем дифференциальное уравнение x * y' = 2y + 1 Перепишем через дифференциалы: x * (dy/dx) = 2y + 1; Обе части сначала разделим на x, а затем на (2y+1) (dy/dx) / (2y + 1) = 1/x; Наконец, можем умножить обе части на dx, получим дифур с разделяющимися переменными: dy/(2y + 1) = dx/x Интегрируем левую и правую части: ∫dy/(2y+1) = ∫dx/x, получаем (1/2) * ln(2y+1) = ln(x) + C Выражаем игрек через икс: ln(2y+1) = 2 ln(x) + 2C = 2 ln(x) + 2C*ln(e) = ln[(x^2) * e^(2C)] 2y+1 = (x^2) * e^(2C) y = (1/2) * ( (x^2) * e^(2C) - 1) =((e^(2C))/2) * x^2 - 1/2 Произвольный коэффициент (e^(2C))/2 можно обозначит любым символом, но пусть это будет тот же самый (для простоты), тогда y = C * x^2 - 1/2
Пишем характеристическое уравнение: k²+7*k+6=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=-6, k2=-1. В таком случае общее решение уравнения имеет вид Yо=C1*e^(k1*x)+C2*e^(k2*x). В нашем случае Yo=C1*e^(-6*x)+C2*e^(-x). Дифференцируя это равенство, получаем Y'o=-6*C1*e^(-6*x)-C2*e^(-x). Подставляя начальные условия, приходим к системе уравнений:
C1+C2=1 -6*C1-C2=2
Решая эту систему, находим C1=-3/5, C2=8/5. Тогда искомое частное решение таково: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).
Проверка: Yч'=18/5*e^(-6*x)-8/5*e^(-x), Yч''=-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). Подставляя Yч, Yч' и Yч'' в уравнение, получаем: -108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x)+126/5*e^(-6*x)-56/5*e^(-x)-18/5*e^(-6*x)+48/5*e^(-x)=0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. Теперь находим Yч(0)=-3/5+8/5=1 и Yч'(0)=18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. Значит, оно найдено верно.
Самостоятельная работа «Деление на трёхзначное число»
Вариант 1
1. Вычисли в столбик.
10 6260 : 460 65 520 : 130 536 : 134
2. Станок изготавливает 160 пластиковых стаканчиков за 1 мин. Сколько стаканчиков он изготавливает за 1 ч?
3. За три футболки и джинсы заплатили 1940 рублей. Джинсы стоят 890 рублей. Сколько стоит одна футболка?
4. Реши уравнение.
800 – х : 15 = 20
Дополнительно
5. Первая цифра частного 40 565 : 305 равна ….
А. 4 Б. 3 В. 2 Г. 1
6. Сколько цифр будет в ответе при делении чисел 27 434 : 638?
А. Одна Б. Две В. Три Г. Четыре
7. Один трактор вспахивает 16 га за 8 ч, а другой – 10 га за 5 ч. Значит …
А) Первый трактор работает быстрее.
Б) Первый трактор работает медленнее.
В) Тракторы работают с одинаковой скоростью.
Самостоятельная работа «Деление на трёхзначное число»
Вариант 2
1. Вычисли в столбик.
16 536 : 53 65 280 : 160 1120 : 224
2. Наборщица печатает 48 страниц текста в день. За сколько дней она напечатает рукопись, в которой 672 страницы?
3. Купили юбку и несколько носовых платков, заплатив 1925 руб. Юбка стоит 1610 руб., один платок 15 руб. Сколько купили платков?
4. Реши уравнение.
330 + 600 : х = 450
Дополнительно
5. Первая цифра частного 92 862 : 402 равна ….
А. 9 Б. 4 В. 2 Г. 1
6. Сколько цифр будет в ответе при делении чисел 93 024 : 456?
А. Одна Б. Две В. Три Г. Четыре
7. Один насос накачивает 1000 воды л за 4 ч, а другой – 1 500 л за 3 ч. Значит …
А) Первый насос работает быстрее.
Б) Первый насос работает медленнее.
В) Насосы работают с одинаковой скоростью.
Самостоятельная работа «Деление на трёхзначное число»
Вариант 3
1. Вычисли в столбик.
24 050 : 74 79 820 : 260 5592 : 233
2. Плиточник выкладывает плиткой 120 дм2 за час. Сколько квадратных дециметров он выложит за 5 дней, работая по 7 ч вдень.
3. За 12 кг картофеля и 5 пакетов молока заплатили 346 рублей. Пакет молока стоит 26 рублей. Сколько стоит 1 кг картофеля.
4. Реши уравнение.
(600 + х) : 30 = 45
Дополнительно
5. Первая цифра частного 504 680 : 74 равна ….
А. 1 Б. 5 В. 6 Г. 7
6. Между какими числами расположено частное 68 441 и 89?
А. Между 10 и 100 В. Между 1000 и 10 000
Б. Между 100 и 1000 Г. Невозможно определить.
7. Один трактор вспахивает 16 га за 8 ч, а другой – 20 га за то же время. Тогда
16 + 20 – это …
А) Столько гектаров вспашут тракторы за 2 ч.
Б) Столько гектаров вспашут тракторы за 8 ч.
Самостоятельная работа «Деление на трёхзначное число»
Вариант 4
1. Вычисли в столбик.
21 242 : 86 55 350 : 270 8856 : 246
2. Каменщик укладывает 20 кирпичей в час. За сколько дней он уложит 14 400 кирпичей, работая по 8 ч в день?
3. За яблоки и 7 кг картофеля заплатили 217 руб. Картофель стоит 16 руб. за 1 кг, а яблоки 35 руб. за 1 кг. Сколько килограммов яблок купили?
4. Реши уравнение.
32 * (342 – х) = 6 400
а это на двузначное
Выполни действие деление столбиком:
822 : 6 2815 : 5 3024 : 12 34523 : 23
125 : 5 1842 : 6 532 : 14 1674 : 62
Вычисли значение выражения: 2992 : (36 : 9 + 18)=
Реши задачу:
Для подарков купили 126 яблок, а апельсинов – в 3 раза больше. Все фрукты разложили в 42 кулька. Сколько фруктов положили в каждый подарок?
Реши уравнение: 560 : у = 14
Длина оконного стекла 22 дм, а ширина составляет половину длины. Чему равна площадь стекла?