Question

В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?

Answer 1

В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?

Пошаговое объяснение:

1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р  .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.

2) Определим координаты точек .

А(0;0)  ,В($\frac{1}{2}$ ;$\frac{\sqrt{3} }{2}$ )  ,С(1;0)  ,Н(0,5 ;0)  ,D( $\frac{1}{3}$ ;0)  ,К( $\frac{5}{6}$ ;0)  , Е(

3)Найдем координаты направляющих векторов: DB( $\frac{1}{6}$ ;$\frac{\sqrt{3} }{2}$ ) , РС( $\frac{9}{10}$ ;$-\frac{\sqrt{3} }{10}$ ).

4)Найдем скалярное произведение векторов .

DB *РС=  $\frac{1}{6}$ * $\frac{9}{10}$  + $\frac{\sqrt{3} }{2}$ *($-\frac{\sqrt{3} }{10}$ ) =$\frac{3}{20} -\frac{3}{20} =0$ ⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.

=======================================

Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).

1) Координаты точки Е.   ΔКСЕ прямоугольный .

КЕ=СЕ*sin60= $\frac{\sqrt{3} }{2}$ * $\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3} }{6}$ .

КС=СЕ*cos60= $\frac{1}{3} *\frac{1}{2}$ =$\frac{1}{6}$ , поэтому АК= 1-$\frac{1}{6} =\frac{5}{6}$   → Е( $\frac{5}{6}$ ;$\frac{\sqrt{3} }{6}$ ) .

2)Координаты точки В.   ΔАВН- прямоугольный .

АН=НС= $\frac{1}{2}$.

ВН=АВ*sin60=1* $\frac{\sqrt{3} }{2}$ =

3)Ищем координаты точки Р

а)ΔВDC , по т. Менелая  $\frac{CE}{BE} *\frac{BF}{FD} *\frac{AD}{AC} =1$ ,  $\frac{\frac{1}{3} }{\frac{2}{3} } *\frac{BF}{FD} *\frac{\frac{1}{3} }{1} =1$   , $\frac{BF}{FD} =6$  .

б)ΔАВD , по т. Менелая  $\frac{AP}{PB} *\frac{BF}{FD} *\frac{DC}{AC} =1$ ,  $\frac{AP}{PB} *\frac{6}{1} *\frac{\frac{2}{3} }{1} =1$   ,  $\frac{AP}{PB} =\frac{1}{4}$,

AP=$\frac{1}{5} AB$ = $\frac{1}{5}$ .

в)ΔАРМ прямоугольный .

РМ=АР*sin60=$\frac{1}{5}$ * $\frac{\sqrt{3} }{2}$ = $\frac{\sqrt{3} }{10}$ .

АМ=АР*cos60= $\frac{1}{5} *\frac{1}{2}$ =$\frac{1}{10}$    → P (  $\frac{1}{10}$ ;$\frac{\sqrt{3} }{10}$ ) .