Question

вектор а=(2;3;-4); вектор б= вектор i+вектор j+ вектор k. Найти | 3а вектор + 2 б вектор

Answer 1

Дано: $\vec{a} = (2; ~ 3; ~ {-}4); ~ \vec{b} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

Найти: $\left|~3\vec{a} + 2\vec{b} ~ \right| - ?$

Решение. Вектор, представленный в пространстве в виде суммы единичных векторов (орт), то есть $\vec{a} = x_{0}\vec{i} + y_{0}\vec{j} + z_{0}\vec{k}$, где $x_{0}, ~ y_{0}, ~ z_{0}$ — числа, которые называются координатами вектора $\vec{a}$ в некотором базисе, можно записать так: $\vec{a} = (x_{0}; ~ y_{0}; ~ z_{0})$

Таким образом, $\vec{b} = (1; ~ 1; ~ 1)$

Умножение вектора $\vec{a} = (x; ~ y; ~ z)$ на число $\lambda$ имеет вид: $\lambda \cdot \vec{a} = (\lambda x; ~ \lambda y; ~ \lambda z)$

Таким образом, $3\vec{a} = (6; ~ 9; ~ {-}12)$ и $2\vec{b} = (2; ~ 2; ~ 2)$

Для векторов $\vec{a} = (x_{1}; ~ y_{1}; ~ z_{1})$ и $\vec{b} = (x_{2}; ~ y_{2}; ~ z_{2})$ имеет место $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_{1} \pm x_{2}; ~ y_{1} \pm y_{2}; ~ z_{1} \pm z_{2})$

Таким образом, $3\vec{a} + 2\vec{b} = (6 + 2; ~ 9 + 2; ~ {-12} + 2) = (8; ~ 11; ~ {-}10)$

Длина вектора $\vec{a} = (x; ~ y; ~ z)$ определяется как арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат $\left|~\vec{a}~ \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Таким образом, $\left|~3\vec{a} + 2\vec{b} ~ \right| = \sqrt{8^{2} + 11^{2} + (-10)^{2}} = \sqrt{285}$

ответ: $\sqrt{285}. ~ \blacktriangleleft$