Даны две концентрические окружности радиусов r2>r1 с общим центром. На большей окружности наудачу ставятся точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок AB не пересекает окружность?
Посмотрим на рисунок. Назовем событие благоприятным, если точки А и В попадают (одновременно) в сегмент большой окружности AR₂B. Причем нарисованный вариант - имеет максимальную длину дуги (при данных величинах радиусов R₁ R₂), опирающуюся на хорду lABl, еще не пересекающую малую окружность ( lABl только касается меньшей окружности в т R₁).
Вопрос: в каких единицах будем измерять благоприятные (да и все возможные случаи)? В количестве точек - не реально. Точек, что на вышеуказанной дуге, что на всей окружности бесконечно много. Раз в количестве тчек не получается, то будем сравнивать длины дуг!
Итак вероятность n непересечения будет равне:
n=l₀₁/l₀₀, где
l₀₁ - длина дуги AR₁B (количество благоприятных случаев)
l₀₀ - длина большой окружности (количество всех возможных случаев)
С l₀₀ все просто:
l₀₀=2πR₂
Вычислим длину "благоприятной" дуги l₀₁ .
Дуга AR₂B опирается на центральный угол AOB. Найдем этот угол.
Рассмотрим Δ OAR₁. Этот треугольник прямоугольный (прямой угол ∠R₁, т.к. lABl -касательная к малой окружности в т.R₁).
Катет lOR₁l=R₁ (радиусу малой окружности), гипотенуза lOAl=R₂ - радису большой окружности.
lOR₁l/ lOAl=R₁/R₂=cos(∠AOR₁).
∠AOR₁=arccos(R₁/R₂) ⇒ ∠AOB=2*arccos(R₁/R₂).
Длина дуги AR₂B:
l₀₁=2*arccos(R₁/R₂)*2πR₂/360=arccos(R₁/R₂)*2πR₂/180 (запишем так для наглядности);
n=l₀₁/l₀₀, ⇒ n = (arccos(R₁/R₂)*(2πR₂)/(180) : 2πR₂) =arccos(R₁/R₂)/180;
n=arccos(R₁/R₂)/180. (1)
Замечание:
На рисунке есть еще одна окружность с радиусом R₃>R₂>R₁. Исходя из этого рисунка наблюдаем динамику роста "благоприятного" сектора при увеличении радиуса бОльшей окружности.
Проверка:
Подставим в полученную формулу отношение R₁/R₂=0,01 (R₂>>R1).
Посчитаем вероятность:
n=arccos(0,01)/180≈0,497.
Т.е. при росте "большой" окружности растет и длина "благоприятного" сектора, и в пределе этот сектор становится равным 1/2 длины окружности (вероятность становится равной 0.5 или 50%).
Справедливости ради формулу (1) надо записать вот так:
n<arccos(R₁/R₂)/180,
т.к. знак "=" - это предельный случай, точка касания, а не пересечения.
Астероиды - небольшие небесные тела, размером от нескольких метров до тысячи километров. Астероиды состоят из железа, никеля и различных каменистых пород. По составу они близки к планетам земной группы. Большинство астероидов движутся в так называемом поясе астероидов между орбитами Марса и Юпитера. Юпитер возмущает их движения. В результате этого, астероиды сталкиваются друг с другом, меняют свои орбиты.
Кометы... Эти небесные тела получили свое название от греческого слова "кометос", что значит "волосатая". Долгое время люди ничего не знали о природе комет. Их появление было так внезапно и загадочно, а вид так необычен, что суеверно настроенные люди видели в них предвестников всяких бед и несчастий; войны, чумы, холеры, голода. В XVI в. астроном Тихо Браге, а за ним многие другие исследователи выяснили, что кометы находятся далеко за пределами земной атмосферы и даже гораздо дальше, чем спутник Земли - Луна; что они движутся в пространстве примерно на таком же большом расстоянии от Земли, как и планеты.
Метеориты - каменные или железные тела, падающие на Землю из межпланетного пространства; представляют собой остатки метеорных тел, не разрушившихся полностью при движении в атмосфере.
Цитата дня Жизнь полна неожиданностей. Ешь десерт сразу
Застывшая музыка
Материал из Гипермаркет знаний
Перейти к: навигация, поиск
Гипермаркет знаний>>Искусство>>Искусство 8 класс>> Застывшая музыка
Застывшая музыка
Символами красоты являются и многие памятники архитектуры. Двигаясь вокруг архитектурного сооружения и внутри его, сопоставляя внешний вид и характер интерьера, человек глубже воспринимает его жизненное и духовное предназначение.
Над зеркалом спокойной глади реки Нерли стоит белокаменный храм, словно любуясь своим отражением в воде. Поэмой, запечатленной в камне, называют церковь Покрова на Нерли (1165 г.) — наиболее совершенное творение владимирских зодчих. Посвящен этот храм религиозному празднику Покрова Богородицы. С достоинством встречал он иноземцев у ворот Владимирской земли, говоря языком камня о ее силе и красоте.
Школьная
Цитата дня Жизнь полна неожиданностей. Ешь десерт сразу
Застывшая музыка
Материал из Гипермаркет знаний
Перейти к: навигация, поиск
Гипермаркет знаний>>Искусство>>Искусство 8 класс>> Застывшая музыка
Застывшая музыка
Символами красоты являются и многие памятники архитектуры. Двигаясь вокруг архитектурного сооружения и внутри его, сопоставляя внешний вид и характер интерьера, человек глубже воспринимает его жизненное и духовное предназначение.
Над зеркалом спокойной глади реки Нерли стоит белокаменный храм, словно любуясь своим отражением в воде. Поэмой, запечатленной в камне, называют церковь Покрова на Нерли (1165 г.) — наиболее совершенное творение владимирских зодчих. Посвящен этот храм религиозному празднику Покрова Богородицы. С достоинством встречал он иноземцев у ворот Владимирской земли, говоря языком камня о ее силе и красоте.

Глубокая печаль русского князя Андрея Боголюбского по погибшему сыну воплотилась в светлом образе этого храма. Его созерцание вызывает у нас чувство тихой грусти и умиротворения.


Не менее глубокое впечатление оставляет образ Реймского собора воФранции — архитектурного памятника XIII в. Легкая ажурная громада собора, его строгая композиция, величественный интерьер, слияние архитектурных форм в едином движении ввысь порождают ощущение бесконечного развития. Синтез зодчества и ваяния воспринимается как праздничная симфония стрельчатых арок, колонн и цветущего, сказочно великолепного скульптурного убранства. В нем ощутимо живое биение творческой мысли.
Церковь Вознесения в Коломенском (XVI в.) — один из немногих сохранившихся памятников эпохи Ивана Грозного в Москве, один из первых каменных шатровых храмов в России. Коломенское было символом Елеонской горы, на которой совершилось Вознесение Господне.
n<arccos(R₁/R₂)/180
Пошаговое объяснение:
вероятность и геомтрия.
Посмотрим на рисунок. Назовем событие благоприятным, если точки А и В попадают (одновременно) в сегмент большой окружности AR₂B. Причем нарисованный вариант - имеет максимальную длину дуги (при данных величинах радиусов R₁ R₂), опирающуюся на хорду lABl, еще не пересекающую малую окружность ( lABl только касается меньшей окружности в т R₁).
Вопрос: в каких единицах будем измерять благоприятные (да и все возможные случаи)? В количестве точек - не реально. Точек, что на вышеуказанной дуге, что на всей окружности бесконечно много. Раз в количестве тчек не получается, то будем сравнивать длины дуг!
Итак вероятность n непересечения будет равне:
n=l₀₁/l₀₀, где
l₀₁ - длина дуги AR₁B (количество благоприятных случаев)
l₀₀ - длина большой окружности (количество всех возможных случаев)
С l₀₀ все просто:
l₀₀=2πR₂
Вычислим длину "благоприятной" дуги l₀₁ .
Дуга AR₂B опирается на центральный угол AOB. Найдем этот угол.
Рассмотрим Δ OAR₁. Этот треугольник прямоугольный (прямой угол ∠R₁, т.к. lABl -касательная к малой окружности в т.R₁).
Катет lOR₁l=R₁ (радиусу малой окружности), гипотенуза lOAl=R₂ - радису большой окружности.
lOR₁l/ lOAl=R₁/R₂=cos(∠AOR₁).
∠AOR₁=arccos(R₁/R₂) ⇒ ∠AOB=2*arccos(R₁/R₂).
Длина дуги AR₂B:
l₀₁=2*arccos(R₁/R₂)*2πR₂/360=arccos(R₁/R₂)*2πR₂/180 (запишем так для наглядности);
n=l₀₁/l₀₀, ⇒ n = (arccos(R₁/R₂)*(2πR₂)/(180) : 2πR₂) =arccos(R₁/R₂)/180;
n=arccos(R₁/R₂)/180. (1)
Замечание:
На рисунке есть еще одна окружность с радиусом R₃>R₂>R₁. Исходя из этого рисунка наблюдаем динамику роста "благоприятного" сектора при увеличении радиуса бОльшей окружности.
Проверка:
Подставим в полученную формулу отношение R₁/R₂=0,01 (R₂>>R1).
Посчитаем вероятность:
n=arccos(0,01)/180≈0,497.
Т.е. при росте "большой" окружности растет и длина "благоприятного" сектора, и в пределе этот сектор становится равным 1/2 длины окружности (вероятность становится равной 0.5 или 50%).
Справедливости ради формулу (1) надо записать вот так:
n<arccos(R₁/R₂)/180,
т.к. знак "=" - это предельный случай, точка касания, а не пересечения.