Question

Если точки A(1;4), B(3 ;-1),C(1 ;-4) и D(x ;y) являются вершинами параллелограмма ABCD найдите координаты точки нужно​

Answer 1

(-1;1)

Пошаговое объяснение:

Выполняем построение. Из А проводим прямую, параллельную стороне ВС. Из С проводим прямую, параллельную стороне АВ. Их пересечение дает точку D. Ее координаты: (-1;1). Это было графическое решение.

Если нужно аналитическое решение, то оно будет таким:

Составляем уравнение прямой АВ

$\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-4}{-1-4}$

$-5x+5=2y-8\\2y=-5x+13\\y=-2.5 x+6.5$

Прямая CD будет иметь такой же угловой коэффициент, поэтому ее уравнение имеет вид:

$y=-2.5x+b$

Она проходит через С, подставив координаты С, находим b:

$-4=-2.5\cdot 1+b\\b=-1.5$

Уравнение CD найдено:

$y=-2.5x-1,5$

Аналогично находим уравнение прямой AD, которая параллельна  ВС. Уравнение прямой ВС:

$\frac{x-1}{3-1} =\frac{y+4}{-1+4} \\3x-3=2y+8\\2y=3x-12\\y=1.5x-6$

Уравнение AD:

$y=1.5x-b\\4=1.5\cdot 1-b\\b=2.5\\y=1.5x+2.5$

Координаты D находим, решая совместно систему уравнений прямых СD и AD:

$\left \{ {{y=-2.5x-1.5} \atop {y=1.5x+2.5}} \right. \\$

$-2.5x-1.5=1.5x+2.5\\x=-1$

Подставляем найденное значение во вторе уравнение:

$y=1.5\cdot (-1)+2.5\\y=1$

Координаты найдены: D(-1;1)