Question

Периметр боковой грани правильной треугольной призмы равен 12 см. При какой длине стороны основания призмы ее объем будет наибольшим?

Answer 1

2

Пошаговое объяснение:

Пусть одна из сторон основания такой призмы - х, и ее высота - h. Тогда периметр ее боковой стороны - $2x+2h$ и он равен 12.

Найдем объём такой призмы.

Объем призмы - площадь основания (в данном случае треугольника) умноженный на высоту (h)

Найдём площадь треугольника в основании (см. рис. 1.)

1)  проведём высоту  у. Тогда площадь этого треугольника будет равна $\displaystyle \frac12xy$

После проведения высоты у нас оказался прямоугольный треугольник со сторонами x и y, и углом между ними в 30°

Тогда его площадь -

$\displaystyle \frac12x*\cos(30\а)x = \frac12x*\frac{\sqrt3}2x=\frac{\sqrt3}4x^2$

Выразим h через х: $\displaystyle h=\frac{12-2x}2=6-x$

Подставим в формулу объема:

$\displaystyle V(x)=\frac{\sqrt3}4x^2h=\frac{\sqrt3}4x^2(6-x)$

Найдём экстремумы функции:

1)  Найдем производную:

$V'(x)=\displaystyle (\frac{\sqrt3}4x^2(6-x))'=\frac{\sqrt3}4(x^2(6-x))'=\frac{\sqrt3}4(6x^2-x^3)'=\frac{\sqrt3}4(6x^2'-x^3')=\frac{\sqrt3}4(12x-3x^2)$

Приравняем её к 0

$V'(x)=0\displaystyle \\\frac{\sqrt3}4(12x-3x^2)=0\\12x-3x^2=0\\x(12-3x^2)=0\\3x(4-x^2)=0\\\left [ {{x=0} \atop {x^2=4}} \right. \\\left [ {{x=0} \atop {x=\pm2}} \right.$

Поскольку у нас геометрия и таких страшных штук как отрицательные стороны у нас нет. Осталось только выбрать между 2 и 0.

Если 0, то это вообще не призма, знак производной говорит тоже самое.

Тогда подходит 2.

И это ответ!