Question

Исследовать функции на непрерывность в указанных точках

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Давайте вспомним определение непрерывности.

Определение Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $a\\$, то $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\in\mathbb{R}$.

Проверим функцию $\displaystyle f(x)=5^{\frac1{x-3}}$ на непрерывность в точке 3.

$\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3}5^{\frac1{x-3}}=(5^{\frac1{3-3}})=(5^\frac10)=(5^\infty)=\infty \notin\mathbb{R}$

Отсюда следует, что в точке 3 данная функция не является непрерывной

Проверим функцию $\displaystyle f(x)=5^{\frac1{x-3}}$ на непрерывность в точке 4.

$\displaystyle \lim_{x\to 4}f(x)=\lim_{x\to 4}5^{\frac1{x-3}}=(5^{\frac1{5-4}})=5=f(5)\in\mathbb{R}$

Отсюда следует, что в точке 4 данная функция является непрерывной