Таким образом, длины векторов а и b равны sqrt(2).
2. Зная длину векторов а и b, мы можем найти косинус угла между ними с помощью формулы косинуса угла между векторами.
cos(угла между а и b) = (а * b) / (|а| * |b|)
где а * b - скалярное произведение векторов а и b, а |а| и |b| - длины векторов а и b соответственно.
а * b = i * j + j * k = 1 * 0 + 0 * 1 = 0
cos(угла между а и b) = 0 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 0 / 2 = 0
Таким образом, cos(угла между а и b) = 0.
3. Мы знаем, что векторы а, b и с образуют попарно равные углы. Поскольку cos(угла между а и b) = 0, это означает, что cos(угла между а и с) = 0 и cos(угла между b и с) = 0.
Мы можем записать это следующим образом:
cos(угла между а и с) = (а * с) / (|а| * |с|) = 0 (уравнение 1)
cos(угла между b и с) = (b * с) / (|b| * |с|) = 0 (уравнение 2)
4. Давайте решим уравнение 1. Заменим в нем значения вектора а и вектора с на их координаты.
(i * x + j * y) / (sqrt(2) * sqrt(x^2 + y^2)) = 0
где x и y - координаты вектора с.
Мы выбрали координаты вектора с таким образом, чтобы его длина была равна sqrt(2) (такая же, как у векторов а и b).
(i * x + j * y) = 0 (уравнение 3)
5. Решим уравнение 3.
i * x + j * y = 0
является системой линейных уравнений.
Уравнение 1:
i * x + j * y = 0
6. Решим уравнение 1. Оно означает, что сумма координат вектора с равна нулю.
i * x + j * y = 0
1 * x + 1 * y = 0
x + y = 0
Отсюда следует, что x = -y.
Таким образом, координаты вектора с можно представить как с = (x, -x), где x - любое число.
Также мы знаем, что длина вектора с должна быть равна sqrt(2).
sqrt(x^2 + (-x)^2) = sqrt(2)
sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2)
sqrt(2 * x^2) = sqrt(2)
Отсюда следует, что x^2 = 1.
7. Найдем значение x.
x^2 = 1
x = 1 или x = -1
8. Итак, имеем две возможных координаты вектора с: (1, -1) или (-1, 1).
Таким образом, вектор с может быть c = (1, -1) или c = (-1, 1).
Вот и все, мы нашли вектор с, если векторы а и b имели длину равную sqrt(2) и образовывали попарно равные углы.
1. Для начала найдем длину векторов а и b. Для этого применим формулу длины вектора, которая определяется как корень из суммы квадратов его координат.
Длина вектора а:
|a| = sqrt(i^2 + j^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
Длина вектора b:
|b| = sqrt (j^2 + k^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
Таким образом, длины векторов а и b равны sqrt(2).
2. Зная длину векторов а и b, мы можем найти косинус угла между ними с помощью формулы косинуса угла между векторами.
cos(угла между а и b) = (а * b) / (|а| * |b|)
где а * b - скалярное произведение векторов а и b, а |а| и |b| - длины векторов а и b соответственно.
а * b = i * j + j * k = 1 * 0 + 0 * 1 = 0
cos(угла между а и b) = 0 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 0 / 2 = 0
Таким образом, cos(угла между а и b) = 0.
3. Мы знаем, что векторы а, b и с образуют попарно равные углы. Поскольку cos(угла между а и b) = 0, это означает, что cos(угла между а и с) = 0 и cos(угла между b и с) = 0.
Мы можем записать это следующим образом:
cos(угла между а и с) = (а * с) / (|а| * |с|) = 0 (уравнение 1)
cos(угла между b и с) = (b * с) / (|b| * |с|) = 0 (уравнение 2)
4. Давайте решим уравнение 1. Заменим в нем значения вектора а и вектора с на их координаты.
(i * x + j * y) / (sqrt(2) * sqrt(x^2 + y^2)) = 0
где x и y - координаты вектора с.
Мы выбрали координаты вектора с таким образом, чтобы его длина была равна sqrt(2) (такая же, как у векторов а и b).
(i * x + j * y) = 0 (уравнение 3)
5. Решим уравнение 3.
i * x + j * y = 0
является системой линейных уравнений.
Уравнение 1:
i * x + j * y = 0
6. Решим уравнение 1. Оно означает, что сумма координат вектора с равна нулю.
i * x + j * y = 0
1 * x + 1 * y = 0
x + y = 0
Отсюда следует, что x = -y.
Таким образом, координаты вектора с можно представить как с = (x, -x), где x - любое число.
Также мы знаем, что длина вектора с должна быть равна sqrt(2).
sqrt(x^2 + (-x)^2) = sqrt(2)
sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2)
sqrt(2 * x^2) = sqrt(2)
Отсюда следует, что x^2 = 1.
7. Найдем значение x.
x^2 = 1
x = 1 или x = -1
8. Итак, имеем две возможных координаты вектора с: (1, -1) или (-1, 1).
Таким образом, вектор с может быть c = (1, -1) или c = (-1, 1).
Вот и все, мы нашли вектор с, если векторы а и b имели длину равную sqrt(2) и образовывали попарно равные углы.