Question

Олимпиадная математика Нужно придумать по задаче на темы:
1. Чётность, в том числе, как провокация
2.Отрицательный остаток разбиение на пары, дополнение.
3. Сравнения – как следствие таблица остатков квадрата и куба и ключевые факты теории сравнений, которые выводятся из таблицы. Плюс несколько важных фактов про сравни-мость по степеням 2 и 5, про суммы цифр по 3, 9 и 11, малая теорема Ферма.

Примеры задач на каждую идею.
1. Чётность, в том числе как провокация.
1.) Найдите все такие наборы целых чисел (a,b,c), для которых (3a–b)(3b–c)(3c–a) = 15015.
2.) Числа p,q и pq+1 - простые. Доказать, что (2р+q)(p+2q) делится на 4.
3.) Докажите, что уравнение не имеет решений в нечётных натуральных чис-лах.
4.) Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство
p2 - 2q2 = 1.
5.) Найти все пары целых чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению x2 = y2 + 2y + 13.
6.) Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо нату-ральных чисел.
2. Отрицательный остаток, разбиение на пары, дополнение.
1.) Доказать, что среди чисел от 1 до 100 количество таких чисел n, что n2+1 делится на 101, четно.
2.) Как среди первых 100 натуральных чисел выбрать наибольший по количеству чисел набор так, чтобы сумма любых двух чисел набора делилась на 25?
3.) Как среди первых 2010 натуральных чисел выбрать наибольший по количеству чисел набор так, чтобы сумма любых двух чисел набора делилась на 4?
4.) Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.
5.) Доказать, что 12011 + 22011 + … + 302011 делится на 31.
6.) Из чисел 1, 2, …, 169 выбраны 84 числа. Докажите, что либо сумма каких-то двух выбранных чисел равна 169, либо одно из чисел является квадратом натурального числа.
3. Сравнения, метод остатков. Таблица остатков квадрата и куба и ключевые факты теории сравнений, которые выводятся из таблицы. Несколько важных фактов про сравнимость по степеням 2 и 5, про суммы цифр по 3, 9 и 11, малая теорема Ферма.
3а. Линейные уравнения через сравнения. В частности, быстрое нахождение ответа через ка-ноническое и параметрическое уравнение прямой.
1.) Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо на 37 шагов влево, либо на 47 шагов вправо. За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?