Чтобы найти сумму всех членов с 7-го по 21 включительно, надо из суммы 21 члена вычесть сумму 6 членов. Найдем 6-й член прогрессии: a₆=a₁+d(n-1)=15-4(6-1) = 15-20= -5 Найдем 21-й член прогрессии: a₂₁=15-4(21-1)=15-80=-65 Найдем сумму 6 членов: a₁+a₆ 15-5 S₆ = ·6 = · 6 = 30 2 2 Найдем сумму 21 члена прогрессии: a₁+a₂₁ 15-65 S₂₁ = · 21 = · 21= - 25·21 = -525 2 2 S= -525 - 30 = -555
Для начала немного упростим задачу: введём замену. Она очевидна. Пусть Тогда наше неравенство принимает вид:
Это неравенство - хороший кандидат на использование метода замены множителя. Рабочую формулу метода для логарифмических неравенств Вы можете посмотреть в сети Интернет, здесь же я только использую её. Кроме того, я использовал то, что если в логарифме переставить местами основание и логарифмируемое выражение, то получатся взаимнообратные числа, что я и учёл при замене. Используем метод:
Здесь помимо рабочей формулы(она первая в системе), я обязан был учесть ещё и ОДЗ неравенства. Но логарифмируемое выражение и так всегда больше 0, поскольку к 1 прибавляется квадрат - заведомо положительное число, а основание никогда не равно 1, поскольку для этого частное 1/t должно быть равно 0, но это также никогда не произойдёт. Поэтому дополнительно к формуле требуем лишь, чтобы основание было больше 0.
Дальше решаем каждое из неравенство по очереди: Это обыкновенное неравенство, решаемое методом интервалов, поэтому Здесь я разделил на , не изменив знак неравенства. Это связано с тем, что данный трёхчлен всюду положительный(дискриминант отрицательный, ветви параболы направлены вверх, то есть, парабола трёхчлена полностью лежит над осью OX). Ну и последнее неравенство легко решается методом интервалов.
∈∞∪ Теперь решаем второе неравенство(сразу приводим левую часть к общему знаменателю): ∈∞∪∞) Решение системы, как известно, пересечение решений обоих неравенств. Следовательно, решение системы t ∈ (-∞∪
Теперь,когда мы получили окончательные решения для t, можно вернуться к переменной x, подставив вместо t логарифм и решив полученную СОВОКУПНОСТЬ неравенств.
или
Первое неравенство легко решается: Вроде бы оно так, но при таких пробегах x вполне может уйти за 0 в отрицательную сторону, а для логарифма это - критично. Так что ограничим ещё и 0 слева и получим - часть решения нашего неравенства.
Дальше решаем двойное неравенство. Его лучше записать как систему из левого неравенства и из правого неравенства. Решение, соответственно, есть пересечение решений обоих.
- а вот тут x уходит уже в сторону положительных чисел, так что подпирать нигде ничем не нужно. - но и тут x уходит в отрицательном направлении, если зайти слишком далеко, то есть, опять подпираем нулём: Коли двойное неравенство - система, ищем лишь пересечение решений. Не забываем, что это ещё не всё. У нас было первое неравенство. Берём оба этих решения и ОБЪЕДИНЯЕМ их(решения совокупности именно объединяются), то есть, берём оба и записываем в ответ. Итак, ответ состоит из двух частей, которые и пишем:
x∈∪ - это и есть ответ. Как видите, он вполне совпал с тем, что должно было быть.
Найдем 6-й член прогрессии:
a₆=a₁+d(n-1)=15-4(6-1) = 15-20= -5
Найдем 21-й член прогрессии:
a₂₁=15-4(21-1)=15-80=-65
Найдем сумму 6 членов:
a₁+a₆ 15-5
S₆ = ·6 = · 6 = 30
2 2
Найдем сумму 21 члена прогрессии:
a₁+a₂₁ 15-65
S₂₁ = · 21 = · 21= - 25·21 = -525
2 2
S= -525 - 30 = -555