{
Вероятностью (вероятностной мерой) называется мера (числовая функция) {\displaystyle \mathbf {P} }\mathbf {P} , заданная на множестве событий, обладающая следующими свойствами:
Неотрицательность: {\displaystyle \forall A\subset X\colon \mathbf {P} (A)\geqslant 0}\forall A\subset X\colon {\mathbf P}(A)\geqslant 0,
Аддитивность: вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, если {\displaystyle A_{i}A_{j}=\varnothing }A_{i}A_{j}=\varnothing при {\displaystyle i\neq j}i\neq j, то {\displaystyle P\left(\sum _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbf {P} (A_{i})}{\displaystyle P\left(\sum _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbf {P} (A_{i})}.
Конечность (ограниченность единицей): {\displaystyle \mathbf {P} (X)=1}{\mathbf P}(X)=1,
В случае если элементарных событий X конечно, то достаточно указанного условия аддитивности для произвольных двух несовместных событий, из которого будет следовать аддитивность для любого конечного количества несовместных событий. Однако, в случае бесконечного (счётного или несчётного элементарных событий этого условия оказывается недостаточно. Требуется так называемая счётная или сигма-аддитивность, то есть выполнение свойства аддитивности для любого не более чем счётного семейства попарно несовместных событий. Это необходимо для обеспечения «непрерывности» вероятностной меры.
Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества {\displaystyle X}X. Предполагается, что она определена на некоторой сигма-алгебре {\displaystyle \Omega }\Omega подмножеств[6]. Эти подмножества называются измеримыми по данной вероятностной мере и именно они являются случайными событиями. Совокупность {\displaystyle (X,\Omega ,P)}(X,\Omega ,P) — то есть множество элементарных событий, сигма-алгебра его подмножеств и вероятностная мера — называется вероятностным Свойства вероятности
Основные свойства вероятности проще всего определить, исходя из аксиоматического определения вероятности.
1) вероятность невозможного события (пустого множества {\displaystyle \varnothing }\varnothing ) равна нулю:
{\displaystyle \mathbf {P} \{\varnothing \}=0;}{\mathbf {P}}\{\varnothing \}=0;
Это следует из того, что каждое событие можно представить как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.
2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть {\displaystyle A\subset B}A\subset B, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то:
{\displaystyle \mathbf {P} \{A\}\leqslant \mathbf {P} \{B\};}{\mathbf {P}}\{A\}\leqslant {\mathbf {P}}\{B\};
Это следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие {\displaystyle B}B, возможно, «содержит» кроме события {\displaystyle A}A ещё какие-то другие события, несовместные с {\displaystyle A}A.
3) вероятность каждого события {\displaystyle A}A находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам:
{\displaystyle 0\leqslant \mathbf {P} \{A\}\leqslant 1;}0\leqslant {\mathbf {P}}\{A\}\leqslant 1;
Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в {\displaystyle X}X, а для {\displaystyle X}X аксиоматически предполагается {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}{\mathbf {P}}\{X\}=1.
4) вероятность наступления события {\displaystyle B\setminus A}B\setminus A, где {\displaystyle A\subset B}A\subset B, заключающегося в наступлении события {\displaystyle B}B при одновременном ненаступлении события {\displaystyle A}A, равна:
{\displaystyle \mathbf {P} \{B\setminus A\}=\mathbf {P} \{B\}-\mathbf {P} \{A\};}{\mathbf {P}}\{B\setminus A\}={\mathbf {P}}\{B\}-{\mathbf {P}}\{A\};
Это следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события {\displaystyle A}A и {\displaystyle B\setminus A}B\setminus A являются несовместными по условию, а их сумма равна событию {\displaystyle B}B.
5) вероятность события {\displaystyle {\bar {A}}}{\bar {A}}, противоположного событию {\displaystyle A}A, равна:
{\displaystyle \mathbf {P} \{{\bar {A}}\}=1-\mathbf {P} \{A\};}{\mathbf {P}}\{{\bar {A}}\}=1-{\mathbf {P}}\{A\};
Это следует из предыдущего свойства, если в качестве множества {\displaystyle B}B использовать всё и учесть, что {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}{\mathbf {P}}\{X\}=1.
6) (теорема сложения вероятностей) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий {\displaystyle A}A и {\displaystyle B}B равна:
{
Рассматривая Европейскую средневековую философию и арабоязычную, можно заметить, что схожести было больше, нежели различий.
Первое, что объеденяет эти концепции, это негативное отношение к некоторым народам, к примеру, евреям (за то, что размножение с ними ведет к вымиранию рода человеческого) и украинцам (за их чрезмерную любовь к жировым отложениям свиней).
Второе - так называемая концепция "Green Elephant", которая пропогандировала взаимо в частносте заботу о том, чтобы твой друг или брат был всегда сыт.
Третьим сходством можно назвать, то, что в обоих концепциях женщина не рассматривается как полноценный на интелектуальную деятельность человек, что было подтверждено позже великим русским биологом Сергеем Савельевым.
Четвертым самым спорным и неоднозначным сходством является вера в мистическое существо, так называемый "Аншабдуль",имеющим восточные корни.
Говоря о различиях, следует упомянуть, что еврропейская школа философии одобряла и поощряла гомосексуализм, когда восточная школа его не принимала вовсе.
В противовес этому, в восточной школе часто всплывают философские вопросы там, где у непосвященного человека не возникают они вовсе. Возьмем, к примеру, роспись на теле - татуировки. Каждый философ считал своим долгом спрашивать у соплеменника, что значат его рисунки. Правильным же ответомслужил наиболее очевидный. Современным исследователям так и не уалось разобраться в этом феномине.