Question

Магазин получает электрические чайники из трех заводов. Первый завод допускает брак 0.2, второй - 0.3 и третий - 0.4. Для контроля взяли один чайник. 1) вероятность того, что он качественный. (ответ округлить до сотых.) 2) Если чайник качественный, то какая вероятность того, что он изготовлен на втором заводе? Известно, что заводы поставляют чайники в соотношении 2: 5: 7 соответственно. (ответ округлить до сотых.)

Answer 1

Пусть случайное событие $A$ — выбран качественный чайник, а гипотезы $H_{1}, ~ H_{2}$ и $H_{3}$ — качественный чайник соответственно с первого, второго и третьего заводов. Тогда вероятность наступления события $A$, если наступит конкретная гипотеза:

$P(A | H_{1}) = 1 - 0,2 = 0,8$

$P(A | H_{2}) = 1 - 0,3 = 0,7$

$P(A | H_{3}) = 1 - 0,4 = 0,6$

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $2k, ~ 5k$ и $7k$ — поступление чайников из соответственно первого, второго и третьего заводов. Найдем по классической вероятности наступление гипотез:

$P(H_{1}) = \dfrac{2k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{2k}{14k} = \dfrac{1}{7}$

$P(H_{2}) = \dfrac{5k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{5k}{14k} = \dfrac{5}{14}$

$P(H_{3}) = \dfrac{7k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{7k}{14k} = \dfrac{1}{2}$

Воспользуемся формулой полной вероятности наступления события $A\colon$

$P(A) = P(H_{1}) P(A|H_{1}) + P(H_{2}) P(A|H_{2}) + P(H_{3}) P(A|H_{3}) =\\\\= \dfrac{1}{7} \cdot 0,8 + \dfrac{5}{14} \cdot 0,7 + \dfrac{1}{2} \cdot 0,6 = \dfrac{93}{140} \approx 0,66.$

Тогда по формуле Байеса найдем вероятность того, что если чайник качественный, то он изготовлен на втором заводе:

$P(H_{2}|A) = \dfrac{P(A|H_{2}) P(H_{2})}{P(A)} = \dfrac{0,7 \cdot \dfrac{5}{14} }{\dfrac{93}{140} } = \dfrac{35}{93} \approx 0,38.$

ответ: 1) 0,66; 2) 0,38.

Answer 2

1) 0.66

2) 0.38

Пошаговое объяснение:

заводы поставляют чайники в соотношении 2: 5: 7 соответственно, значит всего 2+5+7=14 частей

Первый завод 2/14=1/7 часть всех чайников

Второй: 5/14

Третий: 7/14=1/2

Вероятность того, что чайник с первого завода качественный равна: 1-0,2=0,8

Вероятность того, что чайник со второго завода качественный равна: 1-0,3=0,7

Вероятность того, что чайник с третьего завода качественный равна: 1-0,4=0,6

1) А-чайник качественный.

Гипотезы:

H₁, H₂, H₃ - чайник изготовил 1, 2, 3 заводы соответственно.

P(H₁)=1/7; P(H₂)=5/14; P(H₃)=1/2

Условные вероятности:

A/H₁, A/H₂, A/H₃ - чайник качественный, при условии что его изготовил 1, 2, 3 заводы соответственно.

P(A/H₁)=0.8; P(A/H₂)=0.7; P(A/H₃)=0.6

Формула полной вероятности:

P(A)=P(H₁)*P(A/H₁)+P(H₂)*P(A/H₂)+P(H₃)*P(A/H₃)

$P(A)=\frac{1}{7}*0.8+\frac{5}{14}*0.7+\frac{1}{2}*0.6 \approx 0.66$

2) Н₂/A - на втором заводе изготовили качественный чайник:

По формуле Байеса:

$P(H_2/A)=\frac{P(H_2)*P(A/H_2)}{P(A)} \\ \\ P(H_2/A)=\frac{\frac{5}{14}*0.7 }{0.66} \approx=0.38$