Question

с системой уравнения 2^x*9^y=162 ; 3^x*4^y=48

Answer 1

$x=1\\y=2$

Пошаговое объяснение:

Приведем все степени к основаниям 2 и 3:

$9^y=3^{2y}\\\\4^y=2^{2y}$

Тогда система перепишется в виде:

$\left \{ {{2^x\cdot 3^{2y}=162} \atop {3^x\cdot 2^{2y}=48}} \right. \\$

Поделим левые и правые части:

$\frac{2^x\cdot 3^{2y}}{3^x\cdot 2^{2y}} = \frac{162}{48} \\\\\frac{2^x}{2^{2y}} \cdot \frac{3^{2y}}{3^x} =\frac{27}{8} \\\\2^{x-2y}\cdot 3^{2y-x}=2^{-3}\cdot3^3$

Сравнением степеней с одинаковыми основаниями можно понять, что

$x-2y=-3\\\\x=2y-3$

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$3^{2y-3}\cdot2^{2y}=48\\3^{2y}\cdot 2^{2y}=48\cdot 3^3$

Представим 48 в виде произведения 2 и 3 :

$48=2^4\cdot 3^1$

Тогда:

$3^{2y}\cdot 2^{2y}=2^4\cdot3^1\cdot 3^3\\3^{2y}\cdot 2^{2y}=2^4\cdot 3^4\\\\2y=4\\y=2$

При этом x равен:

$x=2y-3=2\cdot 2-3=1$