Question

Найти произведение корней уравнения $x^{2}$+x+$\frac{4}{x}$($\frac{1}{2}+\frac{1}{x}$)=16

Answer 1

${x}^{2} + x + \frac{4}{x} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{x} ) = 16, \: x ≠0 \\ {x}^{2} + x + \frac{4}{x} \times \frac{x + 2}{2x} - 16 = 0 \\ {x}^{2} + x + \frac{2x + 4}{{x}^{2} } - 16 = 0 \\ \frac{ {x}^{4} + {x}^{3} + 2x + 4 - 16 {x}^{2} }{ {x}^{2} } = 0 \\ {x}^{4} + {x}^{3} - 16 {x}^{2} + 2x + 4 = 0 \\ {x}^{4} + ( - 4 {x}^{3} + 5 {x}^{3} ) + (4 {x}^{2} - 20{x}^{2} ) + (10x - 8) + 4 = 0 \\ ({x}^{4} - 4 {x}^{3} + 2 {x}^{2} ) + (5 {x}^{3} - 20 {x}^{2} + 10x) + (2 {x}^{2} - 8x + 4) = 0 \\ {x}^{2} ( {x}^{2} - 4x + 2) + 5x( {x}^{2} - 4x + 2) + 2( {x}^{2} - 4x + 2) = 0 \\ ( {x}^{2} - 4x + 2)( {x}^{2} + 5x + 2) = 0$

Переходим к совокупности уравнений:

${x}^{2} - 4x + 2 = 0 \\ {x}^{2} + 5x + 2 = 0$

Произведение корней квадратного уравнения это отношение свободного коэффициента "с" к коэффициенту при х² ( в нашем случае 1).

Значит произведение корней первого уравнения 2/1 = 2, а второго 2/1 = 2. А произведение корней исходного уравнения: 2×2 = 4.

ответ: 4

(↓ не используя определение корней кв. уравнения)

Решим каждое по-отдельности:

1)

${x}^{2} - 4x + 2 = 0 \\ D = ( - 4) {}^{2} - 4 \times 2 = 16 - 8 = 8 \\ x_{1} = \frac{4 + \sqrt{8} }{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{2} }{2} = 2 + \sqrt{2} \\ x_{2} = \frac{4 - \sqrt{8} }{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{2} }{2} = 2 - \sqrt{2}$

2)

${x}^{2} + 5x + 2 = 0 \\ D = {5}^{2} - 4 \times 2 = 25 - 8 = 17 \\ x_{3} = \frac{ - 5 + \sqrt{17} }{2} \\ x_{4} = \frac{ - 5 - \sqrt{17} }{2}$

Значит у исходного уравнения четыре корня:

$x_{1/2} = 2± \sqrt{2} \\ x_{3/4} = \frac{ - 5± \sqrt{17} }{2}$

Находим произведение корней:

$x_{1}x_{2} = (2 + \sqrt{2} )(2 - \sqrt{2} ) = {2}^{2} - 2 = 2$

$x_{3}x_{4} = ( - \frac{5 - \sqrt{17} }{2} )( - \frac{5 + \sqrt{17} }{2} ) = \frac{(5 - \sqrt{17} )(5 + \sqrt{17} )}{2 \times 2} = \frac{ {5}^{2} - 17 }{4} = \frac{25 - 17}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$(x_{1}x_{2})(x_{3}x_{4}) = 2 \times 2 = 4$

ответ: 4