Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений. Поскольку f(x)-x - непрерывная функция, то она либо всюду положительна, либо всюду отрицательна, иначе она бы в некоторой точке принимала значение 0 (по теореме о промежуточном значении). Пусть f(x)-x всюду положительна. Это значит, что для любого x выполнено неравенство f(x)>x. Пусть f(x)=y. Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x. Таким образом, при любом x f(f(x))-x>0, т.е. уравнение f(f(x))=x не имеет корней. Аналогичным образом, показываем, что уравнение f(f(x))=x не имеет корней и в том случае, когда для любого x выполнено неравенство f(x)<x.
Натуральные числа - это числа начиная с 1, получаемые при счете, т.е положительные и целые.
Пусть a₀ и b₀ - этозначения, которые соответствуют наименьшему значению выражения a²+b². Будем считать что a₀>b₀ (можно взять наоборот, тогда дальше в решении надо просто поменять буквы местами). Если b₀=1 (так как минимальное значение натурального ряда чисел равно 1), то: значит а=2 или а=3, т.к. в остальных случаях N не является натуральным (значения выражения будут дроби). При а=2 и а=3 N=5.
Пусть b₀>1, тогда: N(ab₀-1)=a²+b² ab₀N-N-a²-b₀²=0 a²-ab₀N+b₀²+N=0 Первым корнем этого уравнения будет а₀ Согласно теореме Виета второй корень уравнения равен а₁=b₀N-a₀ и он тоже является положительным и целым числом. Из минимальности выражения а²+b² следует, что а₁>a₀. Значит (а₁-1)(a₀-1)≥b₀(b₀+1) и (а₁-1)(a₀-1)=a₁a₀-(a₁+a₀)+1=b₀²+N-b₀N+1 Получается что b₀²+N-b₀N+1≥b₀(b₀+1). Это неравенство невозможно при b₀>1.
Исходя из решения следует, что единственное значение N, которое является натуральным числом, при натуральных значениях а=2 и b=1 это 5.
ответ:
Пошаговое объяснение:
Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений. Поскольку f(x)-x - непрерывная функция, то она либо всюду положительна, либо всюду отрицательна, иначе она бы в некоторой точке принимала значение 0 (по теореме о промежуточном значении). Пусть f(x)-x всюду положительна. Это значит, что для любого x выполнено неравенство f(x)>x. Пусть f(x)=y. Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x. Таким образом, при любом x f(f(x))-x>0, т.е. уравнение f(f(x))=x не имеет корней. Аналогичным образом, показываем, что уравнение f(f(x))=x не имеет корней и в том случае, когда для любого x выполнено неравенство f(x)<x.