Question

Даны векторы а=(2,0,-1), b=3i-4j, c=(1,1,2). Найти орт вектора (b-c+a) и его направляющие косинусы.

Answer 1

Для начала, найдем вектор (b-c+a).
Используем правило сложения векторов, где a=(2,0,-1), b=3i-4j, c=(1,1,2):

(b-c+a) = 3i-4j - (1,1,2) + (2,0,-1)

Чтобы выполнить вычитание векторов, мы вычитаем соответствующие компоненты:

(b-c+a) = (3-1)i + (-4-1)j + (0-2)k + (2,0,-1)

(b-c+a) = 2i - 5j - 2k + (2,0,-1)

Теперь, чтобы найти орт вектора (b-c+a), нужно найти его норму и разделить каждую компоненту вектора на эту норму. Норма вектора находится с помощью формулы:

|v| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2)

где vx, vy, vz - компоненты вектора v.

Найдем норму вектора (b-c+a):

|b-c+a| = sqrt((2)^2 + (-5)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (-1)^2)

= sqrt(4 + 25 + 4 + 4 + 0 + 1)

= sqrt(38)

Теперь, найдем орт вектора (b-c+a), разделив каждую компоненту вектора на его норму:

у = (2/|b-c+a|, -5/|b-c+a|, -2/|b-c+a|, 2/|b-c+a|, 0/|b-c+a|, -1/|b-c+a|)

= (2/sqrt(38), -5/sqrt(38), -2/sqrt(38), 2/sqrt(38), 0/sqrt(38), -1/sqrt(38))

Таким образом, орт вектора (b-c+a) равен (2/sqrt(38), -5/sqrt(38), -2/sqrt(38), 2/sqrt(38), 0/sqrt(38), -1/sqrt(38)).

Теперь найдем направляющие косинусы данного вектора.
Направляющие косинусы - это отношения компонент ортогонального вектора к его норме.

Направляющий косинус килямина i равен отношению первой компоненты ортогонального вектора к его норме:

cos(α) = (2/sqrt(38)) / (sqrt(38))

cos(α) = 2 / 38

cos(α) = 1 / 19

Направляющий косинус килямина j равен отношению второй компоненты ортогонального вектора к его норме:

cos(β) = (-5/sqrt(38)) / (sqrt(38))

cos(β) = -5 / 38

Направляющий косинус килямина k равен отношению третьей компоненты ортогонального вектора к его норме:

cos(γ) = (-2/sqrt(38)) / (sqrt(38))

cos(γ) = -2 / 38

cos(γ) = -1 / 19

Таким образом, направляющие косинусы вектора (b-c+a) равны:

cos(α) = 1/19

cos(β) = -5/38

cos(γ) = -1/19