Question

Найти интеграл. Нужно найти определенные интегралы, а я их совсем не понимаю

Answer 1

$\dfrac4{27\ln3}$

$\dfrac1{16}\Big(1+11e^1^2\Big)$

Пошаговое объяснение:

Вспомним формулу для определенного интеграла

$\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx =F(a)-F(b)$

Где $F'(x)=f(x)$ или $F(x)=\displaystyle \int f(x)dx$ причем без константы!

Вспомним также несколько формул

$\displaystyle \int f(x)\cdot g'(x)dx=\int f(x)d(g(x))$ - подведение под знак дифференциала

$\displaystyle \int cf(x)dx=c\int f(x)dx$ - вынесение константы

$\displaystyle \int a^xdx=\dfrac{a^x}{\ln a}$

Так же понадобится формула производной корня из х

$(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$

Нужна будет формула интегрирования по частям

$\displaystyle \int u(x)d(v(x))=v(x)u(x)-\int v(x)d(u(x))$

Буду делать по действиям

НОМЕР 1

1 Решим сначала неопределённый интеграл, а затем вычислим определённый по формуле

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt x\cdot3^{\sqrt x}}$

2 Запишем 1 в интеграле как $2\cdot\dfrac12$

$\displaystyle\int 2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{dx}{\sqrt x\cdot3^{\sqrt x}}$

3 Вынесем 2 за знак интеграла как константу

$2\displaystyle\int \dfrac12\dfrac{dx}{\sqrt x\cdot3^{\sqrt x}}$

4 Запишем внутри интеграла произведение двух дробей по-другому

$2\displaystyle\int \dfrac{1}{2\sqrt x}\cdot\dfrac{dx}{3^{\sqrt x}}$

5 Умножим все на (-1)(-1)

$2\displaystyle\int (-1)(-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt x}\cdot\dfrac{dx}{3^{\sqrt x}}$

6 Вынесем -1 как множитель

$2\displaystyle\int -\dfrac{1}{2\sqrt x}\cdot\dfrac{dx}{3^{\sqrt x}}$

7 Заметим, что первая дробь - производная квадратного корня, запишем

$2\displaystyle\int (\sqrt x)'\cdot\dfrac{dx}{3^{\sqrt x}}$

8 Объединим в одну дробь

$2\displaystyle\int \dfrac{(\sqrt x)'dx}{3^{\sqrt x}}$

9 Подведем корень под знак дифференциала

$2\displaystyle\int \dfrac{d(\sqrt x)}{3^{\sqrt x}}$

10 Сделаем замену. Пусть $t=\sqrt x$

$2\displaystyle\int \dfrac{dt}{3^{t}}$

11 Запишем как степень

$2\displaystyle\int 3^{-t}dt$

12 Умножим все на (-1)(-1)

$2\displaystyle\int(-1)(-1) 3^{-t}dt$

13 Выносим -1 за знак интеграла

$2(-1)\displaystyle\int -3^{-t}dt$

14 Заметим производную (-t) и внесем ее под знак дифференциала

$-2\displaystyle\int 3^{-t}d(-t)$

15 Снова сделаем замену. Пусть s = -t

$-2\displaystyle\int 3^{s}ds$

16 Ура! Табличный интеграл записываем формулу без константы, так как в определенном интеграле она не требуется

$-2\cdot\dfrac1{\ln3}3^s$

17 Сделаем обратную замену s = -t

$-2\cdot\dfrac1{\ln3}3^{-t}$

18 Снова сделаем обратную замену, $t=\sqrt x$

$-\dfrac{2\cdot3^{-\sqrt x}}{\ln 3}$

19 Запишем формулу определённого интеграла, учитывая что а у нас это 9, а b у нас это 4 (я уже поменял их местами из-за минуса в начале)

$\dfrac{2\cdot3^{-\sqrt 4}}{\ln 3}-\dfrac{2\cdot3^{-\sqrt 9}}{\ln 3}$

20 Посчитаем корни в степенях

$\dfrac{2\cdot3^{-2}}{\ln 3}-\dfrac{2\cdot3^{-3}}{\ln 3}$

21 Вынесем общие множители

$\dfrac{2}{\ln3}\Big(\dfrac1{9}-\dfrac1{27}\Big)$

22 Посчитаем

$\dfrac2{\ln3}\Big(\dfrac2{27}\Big)$

23 Умножим и получим ответ

$\dfrac4{27\ln3}$

И ЭТО ОТВЕТ

НОМЕР 2

1 Опять запишем неопределённый интеграл

$\displaystyle \int xe^{4x}dx$

2 Запишем 1 как произведение $4\cdot \dfrac14$

$\displaystyle \int 4\cdot\dfrac14\cdot xe^{4x}dx$

3 Вынесем ¹/₄ за знак интеграла

$\displaystyle \dfrac14\int x\cdot4e^{4x}dx$

4 Заметим производную экспоненты, внесем ее под знак дифференциала

$\displaystyle \dfrac14\int xd(e^{4x})$

5 Применим формулу интегрирования по частям

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \int e^{4x}dx\Big)$

6 Снова запишем 1 как произведение $4\cdot \dfrac14$

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \int 4\cdot \dfrac14\cdot e^{4x}dx\Big)$

7 Снова вынесем ¹/₄ за знак интеграла

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \dfrac14 \int 4e^{4x}dx\Big)$

8 Заметим производную 4х и внесем ее под знак дифференциала

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \dfrac14 \int e^{4x}d(4x)\Big)$

9 Сделаем замену t = 4x

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \dfrac14 \int e^{t}dt\Big)$

10 Табличное значение! Запишем

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \dfrac14e^{t}\Big)$

11 Сделаем обратную замену

$\dfrac14\Big(xe^4^x-\displaystyle \dfrac14e^{4x}\Big)$

12 Запишем формулу определённого интеграла

$\dfrac14\Big(3e^1^2-\displaystyle \dfrac14e^{12}\Big)-\dfrac14\Big(0\cdot e^0-\displaystyle \dfrac14e^{0}\Big)$

13 Посчитаем

$\dfrac1{16}\Big(1+11e^1^2\Big)$

И ЭТО ОТВЕТ

P.S. Я очень устал, попытался все максимально понятно вам объяснить (в задании написано "я их совсем не понимаю") Если остались вопросы, задавайте