Вычислительное устройство состоит из шести независимо функциони-рующих блоков. Вероятность безотказной работы первого и шестого блоков равняется 0,8, второго и четвертого 0,7 , а третьего и пятого 0,6. Найти математические ожидания и дисперсии: а) числа исправных блоков б) числа неисправных блоков.
Для начала определим, что такое математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины. В данном случае случайной величиной является количество исправных и неисправных блоков.
Дисперсия - это мера разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания. Она показывает, насколько случайная величина отклоняется от своего среднего значения.
Теперь перейдем к решению задачи:
а) Найдем математическое ожидание числа исправных блоков.
Для этого нужно сложить вероятности безотказной работы каждого блока.
Вероятность безотказной работы первого блока: 0,8
Вероятность безотказной работы второго блока: 0,7
Вероятность безотказной работы третьего блока: 0,6
Сумма вероятностей равна: 0,8 + 0,7 + 0,6 = 2,1
Так как мы ищем математическое ожидание - то делить надо на количество блоков:
Математическое ожидание числа исправных блоков: 2,1 / 6 = 0,35
ОТВЕТ: Математическое ожидание числа исправных блоков равно 0,35.
б) Найдем дисперсию числа исправных блоков.
Для этого нужно вычислить разность между каждым значением числа исправных блоков и их математическим ожиданием, возвести это в квадрат, затем умножить на соответствующую вероятность и сложить все полученные значения.
Для удобства возьмем блоки по порядку от первого до шестого:
1) (1 - 0,35)^2 * 0,8 - это (вероятность неисправности первого блока)^2, умноженная на вероятность его исправности.
2) (1 - 0,35)^2 * 0,7 - аналогично, только для второго блока.
3) (1 - 0,35)^2 * 0,6 - аналогично, только для третьего блока.
4) (0 - 0,35)^2 * 0,8 - аналогично, только для четвертого блока (вероятность его неисправности равна 1 - вероятность исправности, поэтому берется (0 - 0,35)).
5) (0 - 0,35)^2 * 0,7 - аналогично, только для пятого блока.
6) (0 - 0,35)^2 * 0,6 - аналогично, только для шестого блока.
Теперь сложим все полученные значения:
(1 - 0,35)^2 * 0,8 + (1 - 0,35)^2 * 0,7 + (1 - 0,35)^2 * 0,6 + (0 - 0,35)^2 * 0,8 + (0 - 0,35)^2 * 0,7 + (0 - 0,35)^2 * 0,6
= 0,45
ОТВЕТ: Дисперсия числа исправных блоков равна 0,45.
в) Теперь найдем математическое ожидание числа неисправных блоков.
Математическое ожидание числа неисправных блоков равно общему количеству блоков минус математическое ожидание числа исправных блоков:
Математическое ожидание числа неисправных блоков = 6 - 0,35 = 5,65
ОТВЕТ: Математическое ожидание числа неисправных блоков равно 5,65.
г) Найдем дисперсию числа неисправных блоков.
Для этого нужно вычислить разность между каждым значением числа неисправных блоков и их математическим ожиданием, возвести это в квадрат, затем умножить на соответствующую вероятность и сложить все полученные значения.
Для удобства возьмем блоки по порядку от первого до шестого:
1) (0 - 5,65)^2 * 0,8 - это (вероятность исправности первого блока)^2, умноженная на вероятность его неисправности.
2) (0 - 5,65)^2 * 0,7 - аналогично, только для второго блока.
3) (0 - 5,65)^2 * 0,6 - аналогично, только для третьего блока.
4) (1 - 5,65)^2 * 0,8 - аналогично, только для четвертого блока (вероятность его исправности равна 1 - вероятность неисправности, поэтому берется (1 - 5,65)).
5) (1 - 5,65)^2 * 0,7 - аналогично, только для пятого блока.
6) (1 - 5,65)^2 * 0,6 - аналогично, только для шестого блока.
Теперь сложим все полученные значения:
(0 - 5,65)^2 * 0,8 + (0 - 5,65)^2 * 0,7 + (0 - 5,65)^2 * 0,6 + (1 - 5,65)^2 * 0,8 + (1 - 5,65)^2 * 0,7 + (1 - 5,65)^2 * 0,6
= 3,805
ОТВЕТ: Дисперсия числа неисправных блоков равна 3,805.
Таким образом, мы нашли математические ожидания и дисперсии для числа исправных и неисправных блоков.