Question

Преобразуйте данную формулу в эквивалентную ей, содержащую только операции объединения, пересечения и дополнения и не содержащую

скобок.

Answer 1

Данная формула может быть преобразована в эквивалентную ей, содержащую только операции объединения, пересечения и дополнения и не содержащую скобок.

Исходная формула: (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C') ∪ (A ∩ B' ∩ C') ∪ (A' ∩ B ∩ C') ∪ (A' ∩ B' ∩ C)

Для преобразования данной формулы, мы можем использовать законы де Моргана и законы дистрибутивности множеств.

1. Начнем с первого слагаемого (A ∩ B ∩ C).

2. Закон дистрибутивности: (A ∩ B ∩ C) = [(A ∩ B) ∩ C].

3. Закон дистрибутивности: [(A ∩ B) ∩ C] = [A ∩ (B ∩ C)].

4. Закон де Моргана: [A ∩ (B ∩ C)] = A ∩ (B ∩ C).

Теперь применим этот же процесс к остальным слагаемым:

5. (A ∩ B ∩ C') = A ∩ (B ∩ C').

6. (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ (B' ∩ C').

7. (A' ∩ B ∩ C') = (A' ∩ C') ∩ B.

8. (A' ∩ B' ∩ C) = (A' ∩ B' ∩ C).

Теперь объединим все полученные результаты:

(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C') ∪ (A ∩ B' ∩ C') ∪ (A' ∩ B ∩ C') ∪ (A' ∩ B' ∩ C)

= A ∩ (B ∩ C) ∪ A ∩ (B ∩ C') ∪ A ∩ (B' ∩ C') ∪ (A' ∩ C') ∩ B ∪ (A' ∩ B' ∩ C)

= A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B ∩ C') ∪ (B' ∩ C')] ∪ [(A' ∩ C') ∩ B ∪ (A' ∩ B' ∩ C)]

= A ∩ [B ∪ (C ∩ C') ∪ (B' ∩ C')] ∪ [B ∪ (A' ∩ C') ∩ C]

= A ∩ [B ∪ ∅ ∪ (B' ∩ C')] ∪ [B ∪ (A' ∩ C') ∩ C]

= A ∩ [B ∪ (B' ∩ C')] ∪ [B ∪ (A' ∩ C') ∩ C]

= A ∩ [B ∪ (C' ∩ B)] ∪ [B ∪ (A' ∩ C') ∩ C]

= A ∩ [B ∪ (C' ∩ B)] ∪ [B ∪ C ∩ (A' ∩ C')]

= A ∩ [B ∪ C'] ∪ [B ∪ C ∩ (A' ∩ C')]

= A ∩ (B ∪ C') ∪ B ∪ C ∩ (A' ∩ C')

Таким образом, исходная формула (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C') ∪ (A ∩ B' ∩ C') ∪ (A' ∩ B ∩ C') ∪ (A' ∩ B' ∩ C) эквивалентна формуле A ∩ (B ∪ C') ∪ B ∪ C ∩ (A' ∩ C').