Question

Материальная точка движется по закону : s = f(t) - 4/t^2 + 2t. Найти её ускорение в момент времени, когда скорость равна 1 м/с.

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:
s = f(t) - 4/t^2 + 2t (закон движения материальной точки)
v = 1 м/с (скорость)

Мы должны найти ускорение материальной точки в момент времени, когда скорость равна 1 м/с.

Шаг 1: Найдем производную от закона движения, чтобы получить скорость.

Производная функции s по времени (ds/dt) даст нам скорость v:

ds/dt = df(t)/dt - d(4/t^2)/dt + d(2t)/dt

Выполним дифференцирование:

ds/dt = f'(t) + 8/t^3 + 2

Шаг 2: Найдем момент времени, когда скорость равна 1 м/с.

Подставим значение скорости v = 1 м/с в уравнение скорости:

1 = f'(t) + 8/t^3 + 2

Перенесем 1 на другую сторону уравнения:

f'(t) + 8/t^3 + 2 - 1 = 0

Упростим:

f'(t) + 8/t^3 + 1 = 0

Шаг 3: Найдем производную от функции f(t). Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования дробных функций:

f'(t) = d(f(t))/dt = d(-4/t^2 + 2t)/dt

Выполним дифференцирование:

f'(t) = 0 - d(4/t^2)/dt + d(2t)/dt

f'(t) = 0 + (8/t^3) + 2

Шаг 4: Подставим выражение для производной f'(t) в уравнение из Шага 2:

(8/t^3) + 2 + 8/t^3 + 1 = 0

Сгруппируем слагаемые:

16/t^3 + 3 = 0

Шаг 5: Решим полученное уравнение:

16/t^3 = -3

Перенесем -3 на другую сторону:

16/t^3 + 3 = 0

Умножим обе части уравнения на t^3:

16 + 3t^3 = 0

3t^3 = -16

t^3 = -16/3

t = -(-16/3)^(1/3) (так как мы находимся в реальном мире, мы знаем, что t не может быть отрицательным числом)

t ≈ 1.763 сек

Шаг 6: Найдем ускорение материальной точки в момент времени t ≈ 1.763 сек.

Для этого подставим найденное значение t в выражение для ускорения:

a = d^2s/dt^2 = d(df(t)/dt)/dt

Выполним дифференцирование:

a = d/dt (f'(t) + 8/t^3 + 2)

a = d(8/t^3)/dt

a = -24/t^4

Подставим значение t ≈ 1.763 сек:

a ≈ -24/(1.763^4)

a ≈ -3.335 м/с^2

Ответ: Ускорение материальной точки в момент времени, когда скорость равна 1 м/с, примерно равно -3.335 м/с^2.