Question

Решить уравнение log6 (х - 1) = 2 - log6 (5х+3).

Answer 1

Добрый день! Я с удовольствием помогу вам решить данное уравнение.

Для начала нам нужно применить алгоритмы работы с логарифмами для упрощения уравнения.

1. Применим свойство логарифма: log(x - y) = log(x) - log(y), чтобы раскрыть скобки:
log6(x - 1) = 2 - log6(5x + 3).
Теперь у нас уравнение выглядит так:
log6(x - 1) + log6(5x + 3) = 2.

2. Применим свойство логарифма: log(a) + log(b) = log(a * b), чтобы объединить логарифмы в одном выражении:
log6((x - 1)(5x + 3)) = 2.

3. Теперь применим свойство логарифма: log(c) = d означает, что c = 6^d:
(x - 1)(5x + 3) = 6^2.
(x - 1)(5x + 3) = 36.

4. Раскроем скобки, упростим и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:
5x^2 + 3x - 5x - 3 = 36.
5x^2 - 2x - 39 = 0.

5. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = 5, b = -2 и c = -39.

Вычисляем дискриминант:
D = (-2)^2 - 4 * 5 * (-39) = 4 + 780 = 784.

6. Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Применим формулы для вычисления корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a).

Вычисляем корни:
x1 = (-(-2) + √784) / (2 * 5) = (2 + 28) / 10 = 30 / 10 = 3.
x2 = (-(-2) - √784) / (2 * 5) = (2 - 28) / 10 = -26 / 10 = -2.6.

7. Таким образом, уравнение log6(x - 1) = 2 - log6(5x + 3) имеет два корня: x1 = 3 и x2 = -2.6.

Надеюсь, что я смог ясно объяснить вам решение этого уравнения. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!