Добрый день! Давайте по порядку рассмотрим каждый из рядов и найдем нужные члены.
1. Ряд 1. 1/2 + 4/5 + 7/10 + 10/15 + ...
Для начала, посмотрим на возможные закономерности в числителях и знаменателях. Заметим, что числители увеличиваются на 3 (1, 4, 7, 10, ...), а знаменатели увеличиваются на 5 (2, 5, 10, 15, ...).
Обратим внимание, что числители можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом a = 1 и шагом d = 3 (1, 4, 7, 10, ...). Знаменатели можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом b = 2 и шагом d = 5 (2, 5, 10, 15, ...).
Теперь можно записать общую формулу для n-го члена ряда:
Un = (a + (n-1)d) / (b + (n-1)d)
где Un - n-й член ряда, a - первый член числителя, b - первый член знаменателя, n - номер члена ряда, d - шаг арифметической прогрессии.
Теперь давайте найдем Un+1, то есть следующий член ряда:
Un+1 = (a + (n+1-1)d) / (b + (n+1-1)d) = (a + nd) / (b + nd)
Также давайте найдем U2n-1, то есть (2n-1)-й член ряда:
U2n-1 = (a + (2n-1-1)d) / (b + (2n-1-1)d) = (a + (2n-2)d) / (b + (2n-2)d) = (a + 2(n-1)d) / (b + 2(n-1)d)
Итак, мы нашли формулы для нахождения следующего и (2n-1)-го членов ряда.
2. Ряд 1/51 + 2/101 + 3/151 + ...
Аналогично первому ряду, заметим, что числители образуют арифметическую прогрессию со шагом 1 (1, 2, 3, ...) , а знаменатели образуют арифметическую прогрессию со шагом 50 (51, 101, 151, ...).
Теперь можем записать общую формулу для n-го члена ряда:
В этом ряду числители не образуют арифметическую прогрессию, но заметим, что знаменатели образуют арифметическую прогрессию с начальным членом 2 и шагом, увеличивающимся на 3 при каждом следующем члене (2, 5, 10, 17, ...).
Мы можем придумать формулу для нахождения n-го члена ряда, используя знаменатель:
Вот формулы для нахождения следующего и (2n-1)-го членов всех трех рядов. Если у вас возникнут вопросы по решению или по каким-либо шагам, пожалуйста, задайте их!
1. Ряд 1. 1/2 + 4/5 + 7/10 + 10/15 + ...
Для начала, посмотрим на возможные закономерности в числителях и знаменателях. Заметим, что числители увеличиваются на 3 (1, 4, 7, 10, ...), а знаменатели увеличиваются на 5 (2, 5, 10, 15, ...).
Обратим внимание, что числители можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом a = 1 и шагом d = 3 (1, 4, 7, 10, ...). Знаменатели можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом b = 2 и шагом d = 5 (2, 5, 10, 15, ...).
Теперь можно записать общую формулу для n-го члена ряда:
Un = (a + (n-1)d) / (b + (n-1)d)
где Un - n-й член ряда, a - первый член числителя, b - первый член знаменателя, n - номер члена ряда, d - шаг арифметической прогрессии.
Теперь давайте найдем Un+1, то есть следующий член ряда:
Un+1 = (a + (n+1-1)d) / (b + (n+1-1)d) = (a + nd) / (b + nd)
Также давайте найдем U2n-1, то есть (2n-1)-й член ряда:
U2n-1 = (a + (2n-1-1)d) / (b + (2n-1-1)d) = (a + (2n-2)d) / (b + (2n-2)d) = (a + 2(n-1)d) / (b + 2(n-1)d)
Итак, мы нашли формулы для нахождения следующего и (2n-1)-го членов ряда.
2. Ряд 1/51 + 2/101 + 3/151 + ...
Аналогично первому ряду, заметим, что числители образуют арифметическую прогрессию со шагом 1 (1, 2, 3, ...) , а знаменатели образуют арифметическую прогрессию со шагом 50 (51, 101, 151, ...).
Теперь можем записать общую формулу для n-го члена ряда:
Un = n / (50n + 1)
Найдем Un+1:
Un+1 = (n+1) / (50(n+1) + 1) = (n+1) / (50n + 51)
И найдем U2n-1:
U2n-1 = (2n-1) / (50(2n-1) + 1) = (2n-1) / (100n - 49)
3. Ряд 1/2 + 2/5 + 3/10 + 4/17...
В этом ряду числители не образуют арифметическую прогрессию, но заметим, что знаменатели образуют арифметическую прогрессию с начальным членом 2 и шагом, увеличивающимся на 3 при каждом следующем члене (2, 5, 10, 17, ...).
Мы можем придумать формулу для нахождения n-го члена ряда, используя знаменатель:
Un = n / ((n+1)(n+2))
Найдем Un+1:
Un+1 = (n+1) / ((n+1+1)(n+1+2)) = (n+1) / ((n+2)(n+3))
Теперь найдем U2n-1:
U2n-1 = (2n-1) / ((2n-1+1)(2n-1+2)) = (2n-1) / ((2n)(2n+1))
Вот формулы для нахождения следующего и (2n-1)-го членов всех трех рядов. Если у вас возникнут вопросы по решению или по каким-либо шагам, пожалуйста, задайте их!