Question

Решите два задания из четырёх по алгебре интегралы

Answer 1

1.

$\int_{0}^{2} {x}^{3} dx = \frac{ {x}^{4} }{4} |_{0}^{2} = \frac{ {2}^{4} }{4} - \frac{ {0}^{4} }{4} = \frac{16}{4} = 4$

Відповідь: 4 (В)

2.

$f(x) = 6x, \: A(-1;5)$

$F(x) = \int 6xdx = 6 \int xdx = 6 \frac{ {x}^{2} }{2} = 3 {x}^{2} + C$

Підставимо дану точку в первісну, щоб знайти константу С:

$F(x) = 3 {x}^{2} + C \\ 5 = 3( - 1) {}^{2} + C \\ C + 3 = 5 \\ C = 2 \\ \Rightarrow F(x) = 3 {x}^{2} + 2$

Відповідь: А

3.

$\int \cos(3x) dx = I\\ 3x = t\Rightarrow dx = \frac{1}{3} dt$

$I = \int \cos(t) \times \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int \cos(t) dt = \frac{1}{3} \sin(t) = \frac{1}{3} \sin(3x) + C$

Відповідь: В

4.

$1) \: \int \frac{1}{ {x}^{2} } dx = \int {x}^{ - 2} dx = \frac{ {x}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} = - {x}^{ - 1} = - \frac{1}{x} + C$

$2) \: \int {x}^{2} dx = \frac{ {x}^{3} }{3} + C$

$3) \: \int 2xdx = 2 \int xdx = 2 \times \frac{ {x}^{2} }{2} = {x}^{2} + C$

$4) \int 2dx = 2 \int dx = 2x + C$

Відповідь: 1-Б, 2-Г, 3-Д, 4-В