Question

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 3x-6y+4z-12=0, координатной плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М1 (4, 0, 0); М2(0, -1, 0); М3(0, 0, 3)

Answer 1

Для начала нам необходимо найти пересечение плоскостей.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 и М3. Для этого воспользуемся формулой общего уравнения плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - координаты нормального вектора плоскости, а D - свободный член.

1. Найдем векторы М1М2 и М1М3:
М1М2 = (0 - 4, -1 - 0, 0 - 0) = (-4, -1, 0)
М1М3 = (0 - 4, 0 - 0, 3 - 0) = (-4, 0, 3)

2. Найдем векторное произведение векторов М1М2 и М1М3:
(М1М2) х (М1М3) = (-4, -1, 0) х (-4, 0, 3)
= ((-1 * 3) - (0 * 0), (-4 * 3) - (0 * -4), (-4 * 0) - (-1 * -4))
= (-3, -12, 0)

3. Полученный вектор (-3, -12, 0) является нормальным вектором плоскости.

4. Подставим одну из точек (например, М1) и найденный нормальный вектор в формулу плоскости:
-3 * x - 12 * y + 0 * z + D = 0
-3 * 4 - 12 * 0 + 0 * 0 + D = 0
-12 + D = 0
D = 12

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 и М3, имеет вид:
-3 * x - 12 * y + 12 = 0

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с координатными осями.

1. С координатной плоскостью OXY.
-3 * x - 12 * y + 12 = 0
Пусть z = 0, тогда:
-3 * x - 12 * y + 12 = 0
-3 * x - 12 * y = -12
x = -4 + 4y

Заменим x в уравнении плоскости:
3 * (-4 + 4y) - 12 * y + 12 = 0
-12 + 12y - 12y + 12 = 0
0 = 0

Уравнение 0 = 0 истинно, это значит, что плоскость проходит через координатную ось OXY в точке (0, 0, 0).

2. С координатной плоскостью OXZ.
Аналогично поступим, только найдем x в уравнении плоскости:
-3 * x - 12 * 0 + 12 = 0
-3 * x + 12 = 0
x = 4

Получаем точку пересечения (4, 0, 0).

3. С координатной плоскостью OYZ.
Аналогично поступим, только найдем y в уравнении плоскости:
-3 * 0 - 12 * y + 12 = 0
-12 * y + 12 = 0
-12 * y = -12
y = 1

Получаем точку пересечения (0, 1, 0).

Теперь, чтобы вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями и плоскостями, мы можем воспользоваться формулой объема тела, ограниченного треугольной поверхностью:

V = (1/6) * | (x1 * (y2 * z3 - y3 * z2)) + (x2 * (y3 * z1 - y1 * z3)) + (x3 * (y1 * z2 - y2 * z1)) |

1. Запишем координаты точек пересечения плоскостей:
M1(4, 0, 0); M2(0, -1, 0); M3(0, 0, 3)

2. Подставим значения координат точек в формулу объема:
V = (1/6) * | (4 * (-1 * 3 - 0 * 0)) + (0 * (0 * 4 - 0 * 3)) + (0 * (0 * 0 - (-1) * 0)) |
V = (1/6) * | (4 * (-3)) + (0 * 0) + (0 * 0) |
V = (1/6) * | (-12) + 0 + 0 |
V = (1/6) * |-12 |
V = (1/6) * 12
V = 2

Ответ: объем тела, ограниченного поверхностью и указанными плоскостями, равен 2.