Question

Найти точки перегиба функции y=x/x^2-1

Answer 1

$y=\dfrac{x}{x^2-1}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \ x\ne \pm 1\ ,\\\\\\y'=\dfrac{1\cdot (x^2-1)-x\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}\\\\\\y''=-\dfrac{2x(x^2-1)^2-(x^2+1)\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\\\\\\=-\dfrac{2x\, (x^2-1)\cdot \Big((x^2-1)-2(x^2+1)\Big)}{(x^2-1)^4}=-\dfrac{2x\, (-x^2-3)}{(x^2-1)^3}=\dfrac{2x\, (x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0\\\\\\\\znaki\ y'':\ \ \ ---(-1)+++[\, 0\, ]----(1)+++$

$x=0$  - абсцисса точки перегиба, при переходе через точку О(0,0) функция меняет вогнутость на выпуклость, т.к. знак у'' меняется с (+) на (-) .