Материальная точка движется по прямой Согласно закону движения S(t)= -t⁴/2+12t³ . пусть t измеряется в секундах а s(t) в метрах. Найдите: 1) момент времени t0, прикотором ускорение максимально
2) мгновенную скорость в момент времени t0
3) путь, пройденный за время t0
1) Чтобы найти момент времени t0, при котором ускорение максимальное, нам необходимо найти производную функции S(t) по времени t и приравнять ее к нулю. Ускорение это производная второго порядка от функции расстояния. То есть:
a(t) = S''(t)
где S''(t) - вторая производная функции S(t) по t.
Давайте посчитаем первую и вторую производные функции S(t):
S'(t) = d/dt (-t^4/2 + 12t^3)
= -4t^3/2 + 36t^2
S''(t) = d/dt (-4t^3/2 + 36t^2)
= -12t^2 + 72t
Теперь приравняем S''(t) к нулю и решим уравнение:
-12t^2 + 72t = 0
-12t(t - 6) = 0
Отсюда получаем два возможных значения t: t = 0 и t = 6.
Так как t измеряется в секундах, t = 0 не имеет физического смысла, так как это начальный момент времени. Значит, момент времени t0, при котором ускорение максимально, равен t0 = 6 секунд.
2) Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени t0, необходимо найти производную функции S(t) по t и подставить t0:
v(t) = S'(t)
v(t0) = S'(t0)
Подставляем найденное значение t0 = 6 в производную:
v(t0) = S'(6)
= -4(6)^3/2 + 36(6)^2
= -864/2 + 1296
= -432 + 1296
= 864 м/c
Таким образом, мгновенная скорость в момент времени t0 равна 864 м/с.
3) Чтобы найти путь, пройденный за время t0, мы можем воспользоваться определением средней скорости:
v_ср = Δs/Δt
Но так как мы знаем мгновенную скорость v(t0), мы можем использовать формулу:
s = ∫ v(t) dt
То есть, чтобы найти путь s(t0), пройденный за время t0, необходимо найти определенный интеграл от момента времени t = 0 до t = t0 для функции v(t):
s(t0) = ∫[0,t0] v(t) dt
s(t0) = ∫[0,6] (-4t^3/2 + 36t^2) dt
Давайте посчитаем этот интеграл:
s(t0) = -∫[0,6] 4t^3/2 dt + ∫[0,6] 36t^2 dt
s(t0) = -4/5 * t^(5/2) + 12 * t^3 |[0,6] + 12 * t^3/3 |[0,6]
s(t0) = -4/5 * (6)^(5/2) + 12 * (6)^3 - (-4/5 * (0)^(5/2) + 12 * (0)^3) + 12 * (0)^3/3
s(t0) = -4/5 * (6)^(5/2) + 12 * (6)^3
После подстановки конечного значения s(t0), получается ответ с путем, пройденным за время t0.
Обратите внимание, что ответ будет численным значением, так как не указаны конкретные единицы измерения времени или расстояния.