Question

Постройте линии регрессии Y на x и X на y для двумерной с.в. (X,Y), закон распределения которой задан таблицей:

Answer 1

Для построения линии регрессии Y на x нужно использовать формулу линейной регрессии, которая имеет следующий вид:

ŷ = a + bx

где ŷ - предсказанное значение Y, a - точка пересечения линии регрессии с осью Y, b - коэффициент наклона линии регрессии, x - значение переменной x.

Для получения значений a и b можно использовать следующие формулы:

b = Σ((x - Мx)(y - My)) / Σ(x - Мx)²
a = My - bMx

где Σ - сумма, Мx - среднее значение переменной x, My - среднее значение переменной y.

Давайте рассчитаем значения средних значений переменной x и y:

Σx = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Σy = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Мx = Σx / n = 15 / 5 = 3
My = Σy / n = 30 / 5 = 6

Теперь рассчитаем значения коэффициентов a и b:

b = (Σ((x - Мx)(y - My))) / Σ(x - Мx)²
= ((1 - 3)(2 - 6) + (2 - 3)(4 - 6) + (3 - 3)(6 - 6) + (4 - 3)(8 - 6) + (5 - 3)(10 - 6)) / ((1 - 3)² + (2 - 3)² + (3 - 3)² + (4 - 3)² + (5 - 3)²)
= (-4 + (-2) + 0 + 2 + 4) / (1 + 1 + 0 + 1 + 4)
= 0 / 7
= 0

a = My - bMx
= 6 - 0 * 3
= 6

Таким образом, уравнение линии регрессии Y на x будет иметь вид:

ŷ = 6

Это означает, что предсказанное значение Y всегда будет равно 6, независимо от значения переменной x.

Теперь рассмотрим построение линии регрессии X на y. Процедура будет аналогична, только меняются роли исследуемых переменных.

Давайте рассчитаем значения средних значений переменной x и y:

Σx = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Σy = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Мx = Σx / n = 15 / 5 = 3
My = Σy / n = 30 / 5 = 6

Теперь рассчитаем значения коэффициентов a и b:

b = (Σ((y - My)(x - Mx))) / Σ((y - My)²)
= ((2 - 6)(1 - 3) + (4 - 6)(2 - 3) + (6 - 6)(3 - 3) + (8 - 6)(4 - 3) + (10 - 6)(5 - 3)) / ((2 - 6)² + (4 - 6)² + (6 - 6)² + (8 - 6)² + (10 - 6)²)
= (-4 + (-2) + 0 + 2 + 8) / (4 + 4 + 0 + 4 + 16)
= 4 / 28
= 0.1429 (округляя до четырех знаков после запятой)

a = Mx - bMy
= 3 - 0.1429 * 6
= 2.5714 (округляя до четырех знаков после запятой)

Таким образом, уравнение линии регрессии X на y будет иметь вид:

x̂ = 2.5714 + 0.1429y

Это означает, что мы можем предсказать значение переменной x, зная значение переменной y. Коэффициент наклона равен 0.1429, что означает, что каждое увеличение переменной y на 1 единицу приведет к увеличению переменной x на 0.1429 единицы.

Надеюсь, что данное объяснение ясно и понятно. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задайте их.