а)lim X->оо (х^2+3x-4)/x*5=lim X->oo (1/x^3+37
х4-4/x15)/1 -- мы разделили числитель
и знаменатель на x со старшей(с самой
большой) степенью. В данном случае на
х•5. Теперь мысленно подставим до подх
и получим: (+0-0=0(1/x^3=3/x4=4/x/5=0, так
как с увеличением х число уменьшается. А
значит, стремится к нулю.)
ответ: 0.
Аналогично выполним всё первое задание:
б)lim X->оо (х45+2х-3)/(4x43-8)=lim X->oo (1+2/
х4-3/x15)/(4/x^2-8/x5) -- и снова делим
на старшую(на пятую в данном случае)
степень. Далее всё по аналогии: (1+0+0)/
(0-O)=1/0=oo(0 под очень маленьким числом
подразумевается. И чем меньше оно, тем
больше ответ будет, поэтому оо.)
ответ: оо.
Далее всё то же самое; нет смысла
объяснять.
в)lim n->оо (3-4n+2n45)/(2n^2+n-n"4)=lim n->оо
(3/n45-4/n4+2)/(2/n5+1/h4-1/n)=(0-0+2)/
(0+0-O)=2/0=oo.
ответ: оо.
г)lim n->оо (n3+20n-4)/(16n+13)=lim n->оо
(1+20/n42-4/n"3)/(16/n^2+13/n/3)=(1+O-O)/
(0+0)=1/0=oo.
ответ: оо.
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
и
(
5
;
+
∞
)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
(
−
∞
;
−
2
)
(
−
2
;
3
)
(
3
;
5
)
(
5
;
+
∞
)
x+2 – + + +
x-3 – – + +
x-5 – – – +
Отсюда ясно, что:
если
x
∈
(
−
∞
;
−
2
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
−
2
;
3
)
, то f(x)>0;
если
x
∈
(
3
;
5
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
5
;
+
∞
)
, то f(x)>0.
Мы видим, что в каждом из промежутков
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
,
(
5
;
+
∞
)
функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.
-2 3 5
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x1)(x-x2) ... (x-xn),
где x–переменная, а x1, x2, ..., xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, ..., xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) > 0,
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) < 0,
где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа
Рассмотренный решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
x
(
0
,
5
−
x
)
(
x
+
4
)
<
0
Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки
x
=
0
,
x
=
1
2
,
x
=
−
4
Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
-4 0 0,5
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.
x
∈
(
−
4
;
0
)
∪
(
0
,
5
;
+
∞
)
или
−
4
<
x
<
0
;
x
>
0
,
5
Решить неравенство:
x
+
2
x
−
1
≤
2
x
+
2
x
−
1
≤
2
⇒
x
+
2
−
2
(
x
−
1
)
x
−
1
≤
0
⇒
−
x
+
4
x
−
1
≤
0
Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:
1 4
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
x
∈
(
−
∞
;
1
)
∪
[
4
;
+
∞
)
или
x
<
1
;
x
≥
4
5 м-50дм
1 м 1 дм-11дм
3 м 4 дм-34дм