Когда-то, ученый изобрел очень странную фигуру. Она примерно выглядела вот так.
Ученый назвал ее квадрокруг. Он оживил ее, и она стала жить как живой человек. Жила она, жила себе на здоровье и однажды увидела почти такую же фигуру. Только эта фигура называлась просто квадрат. Квадрокруг позавидовал квадрату, и когда наступило утро, он рванул в парикмахерскую, чтобы отпилить себе полукруги. Когда же их отпилили, то необыкновенный квадрокруг превратился в обыкновенный квадрат. Зависть до добра не доводит.
С тех пор, как Волк упал в их камин, три поросёнка: Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф жили спокойно и счастливо.
некоторое время, и поросятам стало как-то скучновато… Они решили отправиться в путешествие, сели на корабль и поплыли.
Долго ли, коротко ли плыли они, как начался сильный шторм. Волны захлёстывали корабль, палуба выскальзывала из-под ног.
Вдруг один матрос увидел впереди какой-то корабль с чёрными рваными парусами. На самой высокой мачте висел флаг, на котором была изображена оскаленная чёрная волчья морда.
Кто-то за спиной у поросят
- Это корабль пиратского главаря по кличке Чёрная Пасть!..
Поросята обернулись на шёпот и услышали продолжение:
- Чёрная Пасть когда-то гнался за своей добычей, но ему довелось испортить свою шкуру в пылающем огне. С тех пор обгорелый и обозлённый, он занялся морским разбоем…
Поросята сразу же догадались, что Чёрная Пасть – это их старый знакомый Волк.
Пиратский корабль быстро приближался. Под-ручные Волка ловко закинули толстые канаты с крючьями на корму корабля с путешественниками, и корабли сблизились.
Пираты ловко перескочили через борт и оказались на палубе. Видя, что путешественников лишь жалкая горсточка и нисколько их не боясь, одолеваемые жадностью, они бросились обыскивать каюты в поисках хоть какой-нибудь добычи.
Поросята в панике бросились бежать. Не видя ничего перед собой от страха, они неслись, куда глаза глядят и даже не заметили, что оказались на корабле пиратов.
Случайно Наф-Наф, протискиваясь в дверь около штурвального колеса, задел какой-то рычажок. Внезапно корабль развернуло, его паруса наполнились ветром, течение подхватило его, и он быстро понёсся прочь.
Пираты стреляли из пистолетов вслед своему удаляющемуся кораблю, но догнать его было уже невозможно.
Поросята: Нуф-Нуф, Наф-Наф и Ниф-Ниф весело отплясывали на корме, радуясь своему неожиданному освобождению.
На мачте трепетал новый флаг. На нём было изображение солнца, встающего из моря.
Поросятам не нужен был пиратский корабль. Они оставили его в ближайшем порту и вернулись в свой родной дом, где им было так хорошо и спокойно.
ответ: 160√3 / 3
Решение
Пусть плоскость, проходящая через сторону AD основания ABCD пирамиды SABCD , пересекает боковые рёбра BS и CS соответственно в точках M и N , а плоскость, проходящая через сторону BC , пересекает боковые рёбра AS и DS соответственно в точках P и Q . Плоскости ASD и BPQC проходят через параллельные прямые AD и BC и пересекаются по прямой PQ . Значит, PQ || BC . Аналогично, MN || AD . Предположим, что AM || DN . Тогда BP || CQ . В этом случае две пересекающиеся прямые плоскости ASB соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости CSD , значит, эти плоскости параллельны, что невозможно. Таким образом, данные четырёхугольники – трапеции. Кроме того, PQ < AD и MN < BC , поэтому в равных трапециях BPQC и AMND соответственно равны основания BC и AD и основания PQ и MN . В четырехугольнике ABCD противоположные стороны AD и BC равны и параллельны, поэтому ABCD – параллелограмм и
РИС 1.
поэтому PM || AB . Аналогично, QN || CD , поэтому PM || QN , а т.к. PQ || MN , то PMNQ – параллелограмм. Значит, PM = NQ . Пусть отрезки AM и BP пересекаются в точке E , а отрезки CQ и DN – в точке F . Предположим, что AM = CQ и BP = DN . Тогда треугольники PEM и NFQ равны по трём сторонам, поэтому AMP = CQN . Значит, треугольники APM и CQN равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда AP = CN , а т.к. AP/AS = DQ/DS , то AS = DS . Аналогично, BS = CS . Пусть O – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания ABCD . Тогда OA = OD и OB = OC как ортогональные проекции равных наклонных. Значит, точка O лежит на серединных перпендикулярах к противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD . Поскольку параллелограмм ABCD не является прямоугольником, серединные перпендикуляры к двум его противоположным сторонам параллельны. Таким образом, предположение о том, что AM = DN и BP = CQ приводит к противоречию. Остается рассмотреть случай, когда AM = BP и CQ = DN . Рассуждая аналогично, получим, что AS = CS и BS = DS . Тогда точка O принадлежит серединным перпендикулярам к диагоналям AC и BD параллелограмма ABCD , т.е. совпадает с центром параллелограмма ABCD . Далее находим:
Рис. 2