Question

Для данных матриц А и В найдите обратную матрицу к матрице С =2 А-3В. А= |2 3 2|
|1 3 -1|
| 4 1 3|
В= |3 2 -1|
|3 1 2|
|5 3 0|

Answer 1

Чтобы найти обратную матрицу к матрице C = 2A - 3B, мы должны выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите матрицу 2A, умножив каждый элемент матрицы A на 2:
2A = |4 6 4|
|2 6 -2|
|8 2 6|

Шаг 2: Найдите матрицу 3B, умножив каждый элемент матрицы B на 3:
3B = |9 6 -3|
|9 3 6 |
|15 9 0|

Шаг 3: Вычтите матрицу 3B из матрицы 2A, чтобы получить матрицу C:
C = 2A - 3B = |4 6 4| - |9 6 -3| = |-5 0 7 |
|2 6 -2|- |9 3 6 |- |-7 3 -8|
|8 2 6 | |15 9 0 | |-7 -7 6 |

Шаг 4: Найдите определитель матрицы C, чтобы проверить, существует ли у нее обратная матрица. Определитель матрицы C можно найти по формуле:
det(C) = |C| = ad - bc
= (-5)(-8 - 7) - (0 - (-7))6 + (7)(-7 - 3)
= 127 - 42 - 70
= 15

Так как определитель матрицы C не равен нулю (15 ≠ 0), обратная матрица существует.

Шаг 5: Найдите аддитивную инверсию матрицы C, чтобы вычислить транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Для этого нужно поменять знаки элементов матрицы C:
C* = |-5 0 7 |
| 7 -3 8 |
|-7 7 -6 |

Шаг 6: Найдите матрицу миноров, вычеркнув каждый элемент матрицы C*, а затем найдите их определители:
Минор M11 = |-3 8|
| 7 -6|
= (-3)(-6) - (8)(7)
= 18 - 56
= -38

Минор M12 = | 7 8|
|-7 -6|
= (7)(-6) - (8)(-7)
= -42 + 56
= 14

Минор M13 = | 7 -3|
|-7 7|
= (7)(7) - (-3)(-7)
= 49 - 21
= 28

Минор M21 = | 0 7|
|-7 -6|
= (0)(-6) - (7)(-7)
= 0 + 49
= 49

Минор M22 = |-5 7|
|-7 7|
= (-5)(7) - (7)(-7)
= -35 + 49
= 14

Минор M23 = |-5 0|
|-7 -7|
= (-5)(-7) - (0)(-7)
= 35 + 0
= 35

Минор M31 = | 0 7|
|-3 8|
= (0)(8) - (7)(-3)
= 0 + 21
= 21

Минор M32 = |-5 7|
| 7 8|
= (-5)(8) - (7)(7)
= -40 - 49
= -89

Минор M33 = |-5 0|
| 7 -3|
= (-5)(-3) - (0)(7)
= 15 + 0
= 15

Шаг 7: Найдите матрицу алгебраических дополнений, поменяв знаки определителей миноров:
C** = |-38 14 28|
| 49 14 -89|
| 21 -35 15|

Шаг 8: Найдите союзную матрицу C*, транспонировав матрицу алгебраических дополнений:
adj(C) = C**T = |-38 49 21 |
| 14 14 -35|
| 28 -89 15|

Шаг 9: Найдите обратную матрицу C, разделив союзную матрицу C* на определитель матрицы C:
C^-1 = 1/det(C) * adj(C)
= 1/15 * |-38 49 21 |
| 14 14 -35|
| 28 -89 15|

Таким образом, обратная матрица C^-1 к матрице С = 2А - 3В равна:
|-38/15 49/15 21/15 |
| 14/15 14/15 -35/15 |
| 28/15 -89/15 15/15 |