Question

Точки А(0; √8; √8), В(√8; √8; 0), С(√8; 0; √8) и Е(√8; √8;√8) являются вершинами тетраэдра АВСЕ. Докажите, что данный тетраэдр правильный.

Answer 1

Для того чтобы доказать, что данный тетраэдр является правильным, нам нужно проверить, что все его грани и все его углы равны.

Для начала, давайте найдем длины всех сторон тетраэдра. Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).

Для грани AB, путь между точками А и В, мы можем записать следующее:

d_AB = √((√8 - 0)^2 + (√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0) + (0 - 8)) = √0 = 0.

Таким образом, длина грани AB равна 0.

Аналогично, длина грани BC равна:

d_BC = √((√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2 + (√8 - 0)^2) = √((0) + (8 - 8) + (8 - 0)) = √0 = 0.

Длина грани BC также равна 0.

Теперь давайте найдем длину грани AC:

d_AC = √((√8 - 0)^2 + (0 - (√8))^2 + (√8 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0 - 8) + (0)) = √0 = 0.

Длина грани AC также равна 0.

Теперь посмотрим на грань AE:

d_AE = √((√8 - 0)^2 + (√8 - √8)^2 + (√8 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0) + (0)) = √8.

Таким образом, длина грани AE равна √8.

Наконец, длина грани BE равна:

d_BE = √((√8 - (√8))^2 + (√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2) = √((0) + (0) + (8 - 8)) = √0 = 0.

Длина грани BE также равна 0.

Итак, мы видим, что грани AB, BC, и AC имеют длину 0, а грани AE и BE имеют длину √8.

Теперь мы можем проверить равенство углов тетраэдра. Для этого нам понадобятся формулы для вычисления угла между двумя векторами:

cos(θ) = A • B / (|A| * |B|),

где A и B - векторы, • - скалярное произведение, |A| и |B| - длины векторов.

Вычислим углы ABC, BCA и CAB. Для этого найдем векторы AB, BC и AC:

AB = B - A = (√8 - 0; √8 - √8; 0 - √8) = (√8; 0; -√8),
BC = C - B = (√8 - √8; 0 - √8; √8 - 0) = (0; -√8; √8),
AC = C - A = (√8 - 0; 0 - √8; √8 - √8) = (√8; -√8; 0).

Теперь вычислим скалярное произведение для каждой пары векторов:

AB • BC = (√8 * 0) + (0 * -√8) + (-√8 * √8) = 0 - 0 + (-8) = -8,
BC • AC = (0 * √8) + (-√8 * -√8) + (√8 * 0) = 0 + 8 + 0 = 8,
AC • AB = (√8 * √8) + (-√8 * 0) + (0 * -√8) = 8 - 0 - 0 = 8.

Подставим эти значения в формулу для нахождения угла:

cos(θ) = A • B / (|A| * |B|).

Угол ABC:

cos(ABC) = (-8) / (√8 * 0) = -8 / 0,

Угол BCA:

cos(BCA) = 8 / (0 * √8) = 8 / 0,

Угол CAB:

cos(CAB) = 8 / (√8 * √8) = 8 / 8 = 1.

Итак, угол ABC и угол BCA являются неопределенными, так как мы получили деление на 0. Однако, угол CAB равен 1, что является корректным значением.

Итак, чтобы закончить доказательство, нам нужно сравнить все найденные длины и углы с эталонными значениями для правильного тетраэдра.

В правильном тетраэдре все его грани должны быть равными между собой, и все его углы должны быть равными друг другу.

Мы видим, что длина грани AB, BC и AC равна 0, что соответствует требованию. Но длина грани AE равна √8, что не является равной длине других граней.

Таким образом, тетраэдр АВСЕ не является правильным, так как не все его грани равны.

Это доказывает, что данный тетраэдр не является правильным.