Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Х – число бракованных деталей из трех впроверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное откло- нение; в) вероятность того, что среди этих трех деталей бракованных будет не более одной.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
а) Для начала построим ряд распределения. Ряд распределения показывает все возможные значения случайной величины и их вероятности.
У нас есть 3 детали, и мы хотим найти вероятность того, что из них X будут бракованными. Вероятность того, что одна деталь окажется бракованной, равна 0,1.
Теперь рассмотрим все возможные случаи:
- Если X = 0 (все детали исправные), то вероятность такого события будет равна (1-0,1)^3 = 0,729.
- Если X = 1 (одна деталь бракованная), то вероятность такого события будет равна 3 * 0,1 * (1-0,1)^2 = 0,243.
- Если X = 2 (две детали бракованные), то вероятность такого события будет равна 3 * (0,1)^2 * (1-0,1) = 0,027.
- Если X = 3 (все детали бракованные), то вероятность такого события будет равна (0,1)^3 = 0,001.
Теперь построим ряд распределения:
X | P(X)
0 | 0,729
1 | 0,243
2 | 0,027
3 | 0,001
Построим многоугольник распределения. Многоугольник распределения показывает вероятность случайной величины принимать значения меньше или равные заданному значению.
X
3 | 0,001
2 | 0,027
1 | 0,270
0 | 1,000
----------------
Теперь рассмотрим функцию распределения. Функция распределения показывает вероятность случайной величины принимать значения меньше или равные заданному значению.
F(X) = P(X ≤ x)
Для X = 0, P(X ≤ 0) = 0,729
Для X = 1, P(X ≤ 1) = 0,729 + 0,243 = 0,972
Для X = 2, P(X ≤ 2) = 0,729 + 0,243 + 0,027 = 0,999
Для X = 3, P(X ≤ 3) = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1,000
Построим функцию распределения:
X | F(X)
0 | 0,729
1 | 0,972
2 | 0,999
3 | 1,000
б) Теперь найдем математическое ожидание (M) и среднее квадратичное отклонение (σ).
Математическое ожидание (M) можно посчитать по формуле:
M = Σ(x * P(X)), где Σ - сумма для всех значений x.
M = (0 * 0,729) + (1 * 0,243) + (2 * 0,027) + (3 * 0,001)
M = 0 + 0,243 + 0,054 + 0,003
M = 0,300
Теперь найдем среднее квадратичное отклонение (σ) по формуле:
σ = √(Σ((x - M)^2 * P(X))), где Σ - сумма для всех значений x.
σ = √((0 - 0,300)^2 * 0,729 + (1 - 0,300)^2 * 0,243 + (2 - 0,300)^2 * 0,027 + (3 - 0,300)^2 * 0,001)
σ = √((0,300^2 * 0,729) + (0,700^2 * 0,243) + (1,700^2 * 0,027) + (2,700^2 * 0,001))
σ = √(0,063 + 0,113 + 0,030 + 0,020)
σ = √0,226
σ ≈ 0,476
в) Наконец, найдем вероятность того, что среди этих трех деталей бракованных будет не более одной.
Чтобы найти вероятность, нужно сложить вероятности событий, когда 0 или 1 деталь бракованная.
P(X ≤ 1) = 0,972
Таким образом, вероятность того, что среди этих трех деталей бракованных будет не более одной, равна 0,972.
Это и есть полный ответ на задачу.
Если что-то не понятно, пожалуйста, дайте мне знать!