Question

Решите систему уравнений методом Крамера. Проверьте найденное решение.

Answer 1

x1        x2        x3          B       -5

3       -1         2       17   Определитель

2       3        -1       -4  

0        4        -3          -19  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

17         -1         2        -10

-4       3        -1  Определитель

-19        4         -3  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

3       17     2     5

2       -4    -1   Определитель

0      -19    -3  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

3        -1       17   -25

2      3     -4   Определитель

0       4     -19  

x1= -10/ -5 = 2  

x2= 5/ -5 = -1  

x3= -25/ -5 = 5.

Определители проще всего находить по треугольной схеме.

Вот первый.

3        -1      2|          3        -1

2        3      -1|   2        3

0        4     -3|         0        4    =

=  -27  + 0  + 16  - 6 + 12  -  0  = -5.

Проверка:

3*2  - 1*(-1) +  2*5 = 6 + 1 + 10 =  17,

2*2 +   3*(-1)  - 1*5 = 4 - 3 - 5 = -4,  

0*2 +   4*(-1) -3*5 = 0 - 4 - 15 = -19.  

Проверка показала, что корни найдены верно.

Answer 2

$2, \quad -1, \quad 5;$

Пошаговое объяснение:

Запишем и вычислим главный определитель системы:

$\left|\begin{array}{ccc}3&-1&2\\2&3&-1\\0&4&-3\end{array}\right|=-4 \cdot \left|\begin{array}{cc}3&2\\2&-1\end{array}\right|-3 \cdot \left|\begin{array}{cc}3&-1\\2&3\end{array}\right|=-4 \cdot (3 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) - 3 \cdot$

$\cdot (3 \cdot 3 - 2 \cdot (-1))=-4 \cdot (-3-4) - 3 \cdot (9+2)=-4 \cdot (-7) - 3 \cdot 11=28-33=-5;$

Главный определитель не равен 0 ⇒ система совместна.

Поочерёдно заменяя столбцы главного определителя столбцом свободных членов, вычислим ещё три определителя:

$\left|\begin{array}{ccc}17&-1&2\\-4&3&-1\\-19&4&-3\end{array}\right|=17 \cdot \left|\begin{array}{cc}3&-1\\4&-3\end{array}\right|-(-1) \cdot \left|\begin{array}{cc}-4&-1\\-19&-3\end{array}\right|+2 \cdot \left|\begin{array}{cc}-4&3\\-19&4\end{array}\right|=$

$=17 \cdot (3 \cdot (-3)-(-1) \cdot 4)+(-4 \cdot (-3)-(-1) \cdot (-19))+2 \cdot (-4 \cdot 4 -3 \cdot (-19))=$

$=17 \cdot (-9+4)+(12-19)+2 \cdot (-16+57)=17 \cdot (-5)+(-7)+2 \cdot 41=$

$=-85-7+82=-3-7=-10;$

$\left|\begin{array}{ccc}3&17&2\\2&-4&-1\\0&-19&-3\end{array}\right|=-(-19) \cdot \left|\begin{array}{cc}3&2\\2&-1\end{array}\right|+(-3) \cdot \left|\begin{array}{cc}3&17\\2&-4\end{array}\right|=19 \cdot (3 \cdot (-1)-2 \cdot 2)-$

$-3 \cdot (3 \cdot (-4)-17 \cdot 2)=19 \cdot (-3-4)-3 \cdot (-12-34)=19 \cdot (-7)-3 \cdot (-46)=$

$=-70-63+120+18=50+18-63=68-63=5;$

$\left|\begin{array}{ccc}3&-1&17\\2&3&-4\\0&4&-19\end{array}\right|=-4 \cdot \left|\begin{array}{cc}3&17\\2&-4\end{array}\right|+(-19) \cdot \left|\begin{array}{cc}3&-1\\2&3\end{array}\right|=-4 \cdot (3 \cdot (-4)-17 \cdot 2)-$

$-19 \cdot (3 \cdot 3-(-1) \cdot 2)=-4 \cdot (-12-34)-19 \cdot (9+2)=-4 \cdot (-46)-19 \cdot 11=$

$=160+24-190-19=-30+5=-25;$

Значения определителей найдены. Для нахождения корней x₁ , x₂ и x₃ , необходимо разделить значения трёх полученных определителей на значение главного определителя соответственно:

$x_{1}=\frac{-10}{-5}=2, \quad x_{2}=\frac{5}{-5}=-1, \quad x_{3}=\frac{-25}{-5}=5;$

$x_{1}=2, \quad x_{2}=-1, \quad x_{3}=5;$

Проверка:

$3 \cdot 2-(-1)+2 \cdot 5=6+1+10=17;$

$2 \cdot 2+3 \cdot (-1)-5=4-3-5=1-5=-4;$

$4 \cdot (-1)-3 \cdot 5=-4-15=-(4+15)=-19;$

Корни найдены верно.