Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол.
Метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .
Запись лишь обозначает, что количество отрезков чётно.
В данной задаче: десять: .
Наше разбиение имеет следующий вид:
Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами.
Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .
Удобнее применить формулу Симпсона для каждого шага, а потом просуммировать результат.
Справа даны округлённые значения. Запятая – это разделитель, i это площадь участка по формуле Симпсона.
Для сравнения приводится значение этого интеграла по формуле трапеций.
x = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = 0 2,645751 2,828427 3 4 5,91608 8,485281 11,53256 14,96663 18,73499 22,80351
Трапеций 1,322875656 2,737089 2,914214 3,5 4,95804 7,200681 10,00892 13,2496 16,85081 20,76925 83,51148
x = -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8
y = 2,150581 2,806243 2,850439 3,372684 4,860556 7,132671 9,956154 13,20511 16,81145 20,73343 22,80351
f(x) = 1,874679 2,783192 2,871697 3,415123 4,89305 7,155341 9,973743 13,21994 16,82457 20,74537 83,75671
Симпсона
Если по этой копии трудно разобраться, то во вложении приведен оригинал расчёта, распечатанный в Word.
Даны точки А(-1;5), B(6;-2), C(-3;-2).
Точки P і Q ділить сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини А на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за попередню.
а)рівняння з прямої СP .
Используем формулу деления прямой на отрезки.
Если самый меньший отрезок принять за 1, следующий за 2, потом за 4, всего 7 частей.
Получаем координаты точки Р(3; 1).
Вектор СР = (3 - (-3); 1-(-2)) = (6; 3).
Уравнение СР: (x + 3)/6 = (y + 2)/3 это канонический вид.
Оно же в общем виде х - 2у - 1 = 0.
б) рівняння прямої ,що проходить через точку Q паралельна до сторони AC ,
Аналогично с п. а) находим координаты точки Q.
Q(x) = (-1 + 6*6)/(1 + 6) = 35/7 = 5.
Q(y) = (5 + 6*(-2))/(1 + 6) = -7/7 = -1.
Находим вектор АС = (-3 - (-1); -2 - 5) = (-2; -7).
Для прямой, параллельной АС, этот вектор сохраняется.
Уравнение заданной прямой: (x - 5)/(-2) = (y + 1)/(-7).
Оно же в общем виде 7х - 2у - 37 = 0.
в) рівняння висоти опущеної з вершини А .
Прямая ВС имеет равные координаты по оси Оу, значит, это горизонтальная прямая. Поэтому высота из точки А - вертикальная прямая. Она сохраняет абсциссу точки А, её уравнение х = -1.
г) Обчислити довжину медіани АМ.
Находим координаты точки М как середину стороны ВС.
М((6-3)/2); (-2-2)/2) = (1,5; -2).
Вектор АМ = (1,5-(-1); -2-5) = (2,5; -7).
Длина АМ = √(2,5² + (-7)²) = √55,25 ≈ 7,433034.