Question

Всистеме линейных уравнений при перестановке столбцов меняется ли знак системы на противоположный? насколько я знаю, когда вычисляется определитель и в матрице переставляются столбцы(или ряды) елементов, то знак определителя пеняется на противоположный. а в интернете не могу найти информацию на счет системы уравнений. вроде бы не меняется, что если и меняется, то этот знак нужно вынести за систему и в конце при нахождении неизвестных изменить если кто знает точно, напишите свой ответ в комментариях, .

Answer 1

Проверим это правило посчитав определитель второй степени:

$[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}]\right] = 1*5 - 2*4 = -3$

Поменяем столбцы местами:

$[\begin{array}{cc}2&1\\5&4\end{array}]\right] = 2*4 - 1*5 = 3$

Если брать некоторые абстрактные значения:

$[\begin{array}{cc}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{array}]\right]= a_1*a_4 - a_2*a_3$

Пусть $a_1*a_4 - a_2*a_3 < 0, a_1*a_4 < a_2*a_3$

Поменяем столбцы местами:

$[\begin{array}{cc}a_2&a_1\\a_4&a_3\end{array}]\right] = a_2*a_3 - a_1*a_4 0$

Далее можно было бы рассмотреть определитель n*n, но мне кажется, что и эта демонастрация будет весомым подкреплением моего заверения: что при перестановке столбцов знак определителя меняется на противоположный.

Во-первых, очень часто в системе уравнений вообще невозможно посчитать определитель, так как матрица отвечающая системе оказывается не квадратной.

А во-вторых, разумеется, определитель системы поменяет знак, если системе будет отвечать квадратная матрица и вы переставите столбцы.

Главное не путать матрицу элементов и определитель этой матрицы, это разные сущности!

Когда вы переставляете столбцы - вы меняете определитель, а система остается эквивалентной (когда перестановка осуществляется в пределах левой части, или в пределах правой. При переносе столбцов из левой в праву, или из правой в левую, надо домножать столбец на -1).