Question

Вычислить пределы не пользуясь правилом лопиталя ​

Answer 1

1.

$\lim_{x\to -2} \frac{x^3+8}{3x^2+8x + 4} = L$

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)\cdot(x^2 - 2x + 2^2) = (x+2)\cdot(x^2-2x+4)$

$3x^2 + 8x + 4 = (x+2)\cdot(3x+2)$

$L = \lim_{x\to -2} \frac{(x+2)(x^2-2x+4}{(x+2)(3x+2)} =$

$= \lim_{x\to -2} \frac{x^2-2x+4}{3x+2} =$

$= \frac{(-2)^2-2\cdot(-2)+4}{3\cdot(-2)+2} = \frac{4+4+4}{-6+2} =$

$= \frac{12}{-4} = -3$

2.

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x-3}-1}{\sqrt{x+5}-3} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x-3}+1)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-3)-1}{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x-3}+1)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)(\sqrt{x-3}+1)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(x+5-9)(\sqrt{x-3}+1)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x-3}+1} =$

$= \frac{\sqrt{4+5}+3}{\sqrt{4-3}+1} = \frac{3+3}{1+1} = \frac{6}{2} = 3$

3.

$\lim_{x\to 0} (1+\sin(2x))^{\frac{3}{\sin(2x)}} = L$

$y = sin(2x)$

$y\xrightarrow[x\to 0]{} 0$

$L = \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{3}{y}} =$

$= (\lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}})^3 = e^3$